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2014年8月26日 (火)

長方形の移動と重なり(雙葉中学 2014年)

長方形A,B,C が下の図のように一直線に並んでいます。

C だけが毎分5cmの速さで直線に沿ってA,Bの上を通り、

矢印の方向に動いていきます。このとき、次の問に答えなさい。

5011

Girl307747_150

(1)C がA,Bと重なる面積が一番大きくなるのは、

C が動き始めてから何分何秒後ですか。また、そのときの面積は何c㎡ ですか。

(2)C がA,Bと重なる面積が 480c㎡ となるのは、

C が動き始めてから何分何秒後と何分何秒後ですか。

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(1)下の図1と図2のときの面積を比べると、

重なっていない部分が図1から図2に進むにつれて減っていくことがわかります。

したがって、図2が重なった部分が最大になります。

Pic_3974a

実際に面積を計算してみると、

図1のときの重なった部分の面積は、

 20×17.5+3×25=425c㎡

図2のときの重なった部分の面積は、

 8×17.5+15×25=140+375=515c㎡

なので、図2のときが面積が最も大きくなり、

C が53cm移動したときなので、

 53÷5=10.6分=10分36秒後

です。

 

 (2)図1のとき、C は41cm移動しているので、

 41÷5=8.2分後=8分12秒後

です。

 

図1から図2まで、10.6-8.2=2.4分 をかけて

面積が 425c㎡ から 515c㎡ に 90c㎡ 増えます。

480c㎡ になるには、480-425=55c㎡ 増えればよく、

図1の状態から

 2.4×55/90=44/30分=1分28秒後

なので、

 8分12秒+1分28秒=9分40秒後

に、重なっている部分の面積が 480c㎡ になります。

 

次に、下の図3の状態では、重なっている部分の面積は375c㎡ です。

  Pic_3975a

このとき、C は61cm移動しており、

 61÷5=12.2分後=12分24秒後

の状態です。

 

図2から図3になるまでの間に、480c㎡ になるときがあります。

515-375=140c㎡  が 12.2-10.6=1.6分 で減っていて、

480c㎡ になるには、35c㎡ 減ればよいので、

 1.6×35/140=0.4分

で減ります。

よって、2回目に480c㎡ になるのは、10.6+0.4=11分後

とわかります。

ゆえに、重なっている部分の面積が480c㎡ になるのは、

動きはじめてから、9分40秒後と11分後 です。

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