長方形の移動と重なり（雙葉中学 2014年）

長方形Ａ，Ｂ，Ｃ が下の図のように一直線に並んでいます。

Ｃ だけが毎分５ｃｍの速さで直線に沿ってＡ，Ｂの上を通り、

矢印の方向に動いていきます。このとき、次の問に答えなさい。

（１）Ｃ がＡ，Ｂと重なる面積が一番大きくなるのは、

Ｃ が動き始めてから何分何秒後ですか。また、そのときの面積は何ｃ㎡ ですか。

（２）Ｃ がＡ，Ｂと重なる面積が ４８０ｃ㎡ となるのは、

Ｃ が動き始めてから何分何秒後と何分何秒後ですか。

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（１）下の図１と図２のときの面積を比べると、

重なっていない部分が図１から図２に進むにつれて減っていくことがわかります。

したがって、図２が重なった部分が最大になります。

実際に面積を計算してみると、

図１のときの重なった部分の面積は、

　２０×１７．５＋３×２５＝４２５ｃ㎡

図２のときの重なった部分の面積は、

　８×１７．５＋１５×２５＝１４０＋３７５＝５１５ｃ㎡

なので、図２のときが面積が最も大きくなり、

Ｃ が５３ｃｍ移動したときなので、

　５３÷５＝１０．６分＝１０分３６秒後

です。

　（２）図１のとき、Ｃ は４１ｃｍ移動しているので、

　４１÷５＝８．２分後＝８分１２秒後

です。

図１から図２まで、１０．６－８．２＝２．４分 をかけて

面積が ４２５ｃ㎡ から ５１５ｃ㎡ に ９０ｃ㎡ 増えます。

４８０ｃ㎡ になるには、４８０－４２５＝５５ｃ㎡ 増えればよく、

図１の状態から

　２．４×５５/９０＝４４/３０分＝１分２８秒後

なので、

　８分１２秒＋１分２８秒＝９分４０秒後

に、重なっている部分の面積が ４８０ｃ㎡ になります。

次に、下の図３の状態では、重なっている部分の面積は３７５ｃ㎡ です。

　　

このとき、Ｃ は６１ｃｍ移動しており、

　６１÷５＝１２．２分後＝１２分２４秒後

の状態です。

図２から図３になるまでの間に、４８０ｃ㎡ になるときがあります。

５１５－３７５＝１４０ｃ㎡  が １２．２－１０．６＝１．６分 で減っていて、

４８０ｃ㎡ になるには、３５ｃ㎡ 減ればよいので、

　１．６×３５/１４０＝０．４分

で減ります。

よって、２回目に４８０ｃ㎡ になるのは、１０．６＋０．４＝１１分後

とわかります。

ゆえに、重なっている部分の面積が４８０ｃ㎡ になるのは、

動きはじめてから、９分４０秒後と１１分後 です。

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