ちょっと難問！ 何通りあるでしょうか？（2014年 麻布中学）

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決められた何種類かの整数を足し合わせて１つの整数を作る方法を考えます。

例えば，１，２，３のみを用いて５を作る方法は，

３＋２，３＋１＋１，２＋２＋１，２＋１＋１＋１，１＋１＋１＋１＋１

の５通り考えられます。ただし,足す順序が異なるだけのものは同じ方法とします。

２，３，５のみを用いて３０を作る方法は全部で何通りありますか。

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全部５の場合、5＋5＋5＋5＋5＋5・・・・・1通り

全部３の場合、3＋3＋3＋・・・・＋3（３が10個）・・・・・1通り

全部２の場合、2＋2＋2＋・・・・＋2（２が15個）・・・・・1通り

２と５で３０にするには、

全部２の場合の

５個分（２×５）を５＋５に、

１０個分（２×１０）を５＋５＋５＋５にする、・・・・・２通り

３と５で３０にするには、

全部３の場合の

５個分（３×５）を５＋５＋５にする、・・・・・1通り

２と３で３０にするには、

全部２の場合の

３個分（２×３）を３＋３に、

６個分（２×６）を３＋３＋３＋３に、

９個分（２×９）を３＋３＋３＋３＋３＋３に、

１２個分（２×１２）を３＋３＋３＋３＋３＋３＋３＋３にする、・・・４通り

２と３と５で３０にするには、

５が1つの場合、残り２５なので、（奇数なので３の個数も奇数個）

　　３が１つの場合、残り２２を全部２に、

　　３が３つの場合、残り１６を全部２に、

　　３が５つの場合、残り１０を全部２に、

　　３が７つの場合、残り４を全部２にする、・・・・・４通り

５が２つの場合、残り２０なので、（偶数なので３の個数は偶数個）

　　３が２つの場合、残り１４を全部２に、

　　３が４つの場合、残り８を全部２に、

　　３が６つの場合、残り２を２にする、・・・・・３通り

５が３つの場合、残り１５なので、（奇数なので３の個数も奇数個）

　　３が１つの場合、残り１２を全部２に、

　　３が３つの場合、残り６を全部２にする、・・・・・２通り

５が４つの場合、残り１０なので、（偶数なので３の個数は偶数個）

　　３が２つの場合、残り４を全部２にする、・・・・・1通り

５が５つの場合、残り５なので、（奇数なので３の個数も奇数個）

　　３が１つの場合、残り２を２にする、・・・・・1通り

全部で、１＋１＋１＋２＋１＋４＋４＋３＋２＋１＋１＝２１通り

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