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2014年8月22日 (金)

ちょっと難問! 何通りあるでしょうか?(2014年 麻布中学)

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決められた何種類かの整数を足し合わせて1つの整数を作る方法を考えます。

例えば,1,2,3のみを用いて5を作る方法は,

3+2,3+1+1,2+2+1,2+1+1+1,1+1+1+1+1

の5通り考えられます。ただし,足す順序が異なるだけのものは同じ方法とします。

2,3,5のみを用いて30を作る方法は全部で何通りありますか。

Apf0507s

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全部5の場合、5+5+5+5+5+5・・・・・1通り

全部3の場合、3+3+3+・・・・+3(3が10個)・・・・・1通り

全部2の場合、2+2+2+・・・・+2(2が15個)・・・・・1通り

2と5で30にするには、

全部2の場合の

5個分(2×5)を5+5に、

10個分(2×10)を5+5+5+5にする、・・・・・2通り

3と5で30にするには、

全部3の場合の

5個分(3×5)を5+5+5にする、・・・・・1通り

2と3で30にするには、

全部2の場合の

3個分(2×3)を3+3に、

6個分(2×6)を3+3+3+3に、

9個分(2×9)を3+3+3+3+3+3に、

12個分(2×12)を3+3+3+3+3+3+3+3にする、・・・4通り

2と3と5で30にするには、

5が1つの場合、残り25なので、(奇数なので3の個数も奇数個)

  3が1つの場合、残り22を全部2に、

  3が3つの場合、残り16を全部2に、

  3が5つの場合、残り10を全部2に、

  3が7つの場合、残り4を全部2にする、・・・・・4通り

5が2つの場合、残り20なので、(偶数なので3の個数は偶数個)

  3が2つの場合、残り14を全部2に、

  3が4つの場合、残り8を全部2に、

  3が6つの場合、残り2を2にする、・・・・・3通り

5が3つの場合、残り15なので、(奇数なので3の個数も奇数個)

  3が1つの場合、残り12を全部2に、

  3が3つの場合、残り6を全部2にする、・・・・・2通り

5が4つの場合、残り10なので、(偶数なので3の個数は偶数個)

  3が2つの場合、残り4を全部2にする、・・・・・1通り

5が5つの場合、残り5なので、(奇数なので3の個数も奇数個)

  3が1つの場合、残り2を2にする、・・・・・1通り

全部で、1+1+1+2+1+4+4+3+2+1+1=21通り

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