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2014年8月23日 (土)

うずまき図形の面積と長さは?(白陵中学 2014年)

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1辺の長さが1cmの正方形をたくさんつないで、

下の図のような図形を作りました。

Pic_3957q

(1)この図形の面積を求めなさい。

(2)この図形の周の長さを求めなさい。

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(1)下の図1の赤い部分と青い部分は面積が同じです。

Pic_3958a

この赤い部分と青い部分を広げていくと、

下の図2の赤い部分と青い部分の面積が等しくなります。

Pic_3959a

赤い部分と青い部分から成るところは、たて18cm、横17cmなので、

この半分と図2の黒い部分の面積の和が求める面積で、

 18×17÷2+17×1+18×1+1×1

=153+36=189c㎡

です。

 

<別解>

下の図3のように、この図形は、1+2+3+・・・+19-1

(最後の図形の黒い部分はふくまれないことに注意)となり、

Pic_3960a

求める面積は、

 (1+19)×19÷2-1=189c㎡

となります。

 

 (2)この図形は、189個の正方形がくっついて出来たものです。

正方形が並んだ場合の周の長さは、下の図4のように、

    Pic_3961a

2個の場合は6cm、3個の場合は8cm、4個の場合は10cm・・

と、2cmずつ増えていきます。曲げてつないでも長さは同じで、

(2×個数+2)cm になっているので、この図形の周の長さは、

  2×189+2=380cm

と求められます。

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