うずまき図形の面積と長さは？（白陵中学 2014年）

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１辺の長さが１ｃｍの正方形をたくさんつないで、

下の図のような図形を作りました。

（１）この図形の面積を求めなさい。

（２）この図形の周の長さを求めなさい。

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（１）下の図１の赤い部分と青い部分は面積が同じです。

この赤い部分と青い部分を広げていくと、

下の図２の赤い部分と青い部分の面積が等しくなります。

赤い部分と青い部分から成るところは、たて１８ｃｍ、横１７ｃｍなので、

この半分と図２の黒い部分の面積の和が求める面積で、

　１８×１７÷２＋１７×１＋１８×１＋１×１

＝１５３＋３６＝１８９ｃ㎡

です。

＜別解＞

下の図３のように、この図形は、１＋２＋３＋・・・＋１９－１

（最後の図形の黒い部分はふくまれないことに注意）となり、

求める面積は、

　（１＋１９）×１９÷２－１＝１８９ｃ㎡

となります。

　（２）この図形は、１８９個の正方形がくっついて出来たものです。

正方形が並んだ場合の周の長さは、下の図４のように、

　　　　

２個の場合は６ｃｍ、３個の場合は８ｃｍ、４個の場合は１０ｃｍ・・

と、２ｃｍずつ増えていきます。曲げてつないでも長さは同じで、

（２×個数＋２）ｃｍ になっているので、この図形の周の長さは、

　 ２×１８９＋２＝３８０ｃｍ

と求められます。

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