円すいを切った体積（大妻中学 2013年）

下の図１は、底面の半径２０ｃｍ、高さ４０ｃｍの円すいの形の容器から、

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底面の半径１０ｃｍ、高さ２０ｃｍの円すいの形の容器（図２）を取り除いたものです。

図３は、図２の容器をひっくり返して、図１の容器の中に入れたものです。

図３の容器に水を入れると、水面は ＡＢ のまん中の点Ｍ のところになりました。

入れた水は何立方ｃｍでしたか。ただし、容器の厚さは考えないものとします。

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図２の容器のうち、図３で水に入っている部分は、

下の図４の点Ｂと点Ｎの間の部分です。

　　　　

円すいの先端を点Ｏ として、

点Ｏから点Ｎ までの部分の小さい円すいの体積を【１】とすると、

点Ｎ は ＯＢ のまん中の点なので、相似比 １ ： ２ より、図２の円すいの体積は、

２×２×２＝【８】となり、

図３で水に入っている部分の体積は、【７】です。

次に、下の図５のように、点Ｍで図１の円すいを切ったものを考えると、

　　　

ＯＮ ： ＯＭ ＝ １ ： ３ なので、図５の色の付いた部分の体積は、

３×３×３＝【２７】 です。

よって、水の体積は、【２７】－（【８】＋【７】）＝【１２】 です。

【１】＝５×５×３．１４×１０÷３ なので、

求める水の体積は、

５×５×３．１４×１０÷３×１２＝３１４０立方ｃｍです。

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