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2014年8月21日 (木)

円すいを切った体積(大妻中学 2013年)

下の図1は、底面の半径20cm、高さ40cmの円すいの形の容器から、

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底面の半径10cm、高さ20cmの円すいの形の容器(図2)を取り除いたものです。

図3は、図2の容器をひっくり返して、図1の容器の中に入れたものです。

図3の容器に水を入れると、水面は AB のまん中の点M のところになりました。

入れた水は何立方cmでしたか。ただし、容器の厚さは考えないものとします。

Pic_3925q

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図2の容器のうち、図3で水に入っている部分は、

下の図4の点Bと点Nの間の部分です。

    Pic_3926a

円すいの先端を点O として、

点Oから点N までの部分の小さい円すいの体積を【1】とすると、

点N は OB のまん中の点なので、相似比 1 : 2 より、図2の円すいの体積は、

2×2×2=【8】となり、

図3で水に入っている部分の体積は、【7】です。

次に、下の図5のように、点Mで図1の円すいを切ったものを考えると、

   Pic_3927a

ON : OM = 1 : 3 なので、図5の色の付いた部分の体積は、

3×3×3=【27】 です。

よって、水の体積は、【27】-(【8】+【7】)=【12】 です。

【1】=5×5×3.14×10÷3 なので、

求める水の体積は、

5×5×3.14×10÷3×12=3140立方cmです。

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