難問ですがエレガントな名作です！（慶應義塾湘南藤沢中等部 2012年）

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下の図の正六角柱ＡＢＣＤＥＦ－ＧＨＩＪＫＬ は底面が正六角形で

側面は正方形でできています。

図のように、この正六角柱の頂点Ｈ から

辺ＢＣ上の点Ｍ，辺ＥＦ上の点Ｎを通って頂点Ｋまで

長さが最も短くなるようにひもを張ります。

この正六角柱の表面積が４８ｃ㎡ のとき、このひもの長さを求めなさい。

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正六角柱の展開図を描くと下の図１のようになるので、

ひもの長さが最短となるのは、図１のように頂点Ｈ と頂点Ｋ を

一直線に結んだときです。

　　

　また、正六角形は、６個の正三角形から成るので、下の図２のように、

この展開図は、６個の正方形と１２個の正三角形で

できていると考えることができます。

　　

立体の表面積が４８ｃ㎡ なので、

正方形１個と正三角形２個の面積の合計が８ｃ㎡

ということがわかります。

また、下の図３のように、

　　

ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ の交点Ｏは、ＨＫ上にあり、ちょうどまん中の点です。

（三角形ＯＢＨと三角形ＯＥＫが合同なので、ＯＨ＝ＯＫ）

ＨＫの長さを求めるには、ＯＨの長さを求めればよいことになります。

下の図４のように、三角形ＯＨＰに注目します。

三角形ＯＢＨは二等辺三角形で、角ＯＢＨ＝１５０度なので、

角ＢＯＨ＝（１８０－１５０）÷２＝１５度 です。

同様に角ＡＯＰ＝１５度なので、角ＨＯＰ＝６０＋１５＋１５＝９０度

となります。

ここで、三角形ＯＢＨの面積は下の図５のように等積変形すると、

正方形の４分の１の面積に等しいことがわかります。

このことから、三角形ＯＨＰの面積は下の図６のように

　　

正方形１個 と 正三角形２個分の面積の和に等しいことがわかり、

面積は８ｃ㎡ です。

ＯＨの長さとＯＰの長さは等しいので、三角形ＯＨＰは直角二等辺

三角形で、面積が８ｃ㎡ より、ＯＨの長さを□ｃｍとすると、

　　　□×□÷２＝８

より、□＝４ｃｍ とわかります。

よって、最短となるひもの長さ ： ＨＫの長さは、４×２＝８ｃｍ

ということがわかります。

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