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2014年8月22日 (金)

約数の和はいくつ?(横浜共立学園中学 2012年)

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A は0でない整数とし、<A>はAの約数の和を表すものとします。

たとえば、<8>=1+2+4+8=15 です。

(1)<16>-<25>を求めなさい。

(2)<A>=24 となるA は全部で 3個あります。すべて答えなさい。

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(1)

<16>=1+2+4+8+16=31

<25>=1+5+25=31

よって、<16>-<25>= です。

 

(2)

まず、24以上の数になると、<A>=1+A 以上なので

<A>=24 になりません。よって、23までの数で考えます。

1+A=24 となる A は、A=23 で、23は他に約数がないので

A=23 が1つ決まります。

 

調べてみると、素数(1とその数しか約数がないもの)は、23だけが成立します。

次に、Aが素数の2より大きい2の倍数のものを考えると、

<A>=1+2+(A÷2)+A=24

より、(A÷2)+A=21 で、これが成り立つのは A=14 です。

確かに、<14>=1+2+7+14=24 で成り立ちます。

 

次に、同じ方法でAが3より大きい3の倍数のものを考えると、

<A>=1+3+(A÷3)+A=24

より、(A÷3)+A=20 で、これが成り立つのは A=15 です。

確かに、<15>=1+3+5+15=24 で成り立ちます。

これで3つ見つかりました。

 

以上より、<A>=24 となるのは、A=14,15,23 です。

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