転がる円の中心が動く長さは？（甲陽学院中学 2012年)

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下の図のように、

正方形の形に並んだ１２個の円で作られた図形があります。

円の半径はすべて ３ｃｍです。

半径 ３ｃｍ のもう１つの円Ａ を、図形から離れないように、

この図形の外側を１周させるとき、

円Ａ の中心が動く線の長さを求めなさい。

　　　　　

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円Ａ が、図形のカドの部分を通るとき、

下の図１のようにそれぞれの円の中心を線で結ぶと、

　　　　　

円Ａ が移動する角度は、

３６０－（６０＋６０＋９０）＝１５０°

とわかります。

次に、カド以外の場所を円Ａが移動するときは、

下の図２のように円の中心を線で結ぶと、

　　　　　

正三角形が作れて、６０°移動することがわかります。

図１のように移動するのが ４か所、

図２のように移動するのが ８か所あるので、

円Ａの中心が動く線の長さは、

　６×２×３．１４×（１５０/３６０×４＋６０/３６０×８）

＝１２×３．１４×３＝３６×３．１４

＝１１３．０４（ｃｍ）

と求められます。

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