べん図を使うと解きやすい問題（開成中学 2005年）

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４０人の生徒に対して、問題Ａ，Ｂ の２題によるテストを行いました。得点は、２題とも正解ならば１０点、Ａ，Ｂ のどちらか１題だけが正解ならば５点、どちらも不正解ならば０点としました。その結果について、次のことがわかっています。

（ア）４０人の平均点は、ちょうど６点でした。

（イ）得点が０点と５点の生徒は、合わせて３０人いました。

（ウ）問題Ａ が正解だった生徒の人数は、問題Ｂ が正解だった生徒の人数の２倍でした。

このとき、問題Ａ が正解で、問題Ｂ が不正解だった生徒は何人か求めなさい。

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問題文より、１０点の生徒は１０人ということがわかります。

４０人の平均点が６点なので、

点数の合計は、４０×６＝２４０点とわかり、

そこから１０点の生徒の点数を引くと、

２４０－１０×１０＝１４０点 が、５点の生徒の合計点数

ということになります。

よって、５点の生徒の人数 （ＡまたはＢが正解だった生徒）は、

１４０÷５＝２８人 とわかります。

下の図のように、「べん図」を描くと、

　

Ａ が正解だった生徒の人数は、

Ｂ が正解だった生徒の人数の２倍で、

　【Ａ だけが正解だった生徒数】＝Ａ

　【Ｂ だけが正解だった生徒数】＝Ｂ

とすると、Ａ＋Ｂ＝２８人 で、Ａ＋１０（人）は、Ｂ＋１０（人）の２倍

ということになります。

このことから、２８＋１０＋１０＝４８人 が ２ ： １に分かれると、

Ａが正解だった生徒数とＢが正解だった生徒数がわかり、

それぞれ ３２人 と １６人 となります。

よって、Ａ だけが正解だった生徒は、３２－１０＝２２人 です。

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