角度は？面積比は？（白百合学園中学 2003年）

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下図のような直角三角形ＡＢＣがあります。

ＡＥを折り目として三角形を折ると、辺ＡＢは辺ＡＣと重なり、

ＣＤを折り目として三角形を折ると、辺ＢＣは辺ＡＣと重なり、

頂点Ｂは点Ｆと重なります。このとき、次の問に答えなさい。

　

（１）角①（角ＡＨＤ）の大きさを求めなさい。

（２）三角形ＡＧＦの面積は、三角形ＡＢＣの面積の何倍か求めなさい。

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（１）角①＝角ＨＡＣ＋角ＨＣＡ です。

ＡＥ，ＣＤで三角形を折り返すと、ＡＢ，ＢＣがＡＣと重なるので、

角ＥＡＢ＝角ＥＡＣ、角ＤＣＡ＝角ＤＣＢ となります。

　　

上の図１のように、それぞれの角度を■、▲と表すと、

角ＢＡＣ＋角ＢＣＡ＝１８０－角Ｂ＝９０度なので、

■＋■＋▲＋▲＝９０度となり、■＋▲＝９０÷２＝４５度と

求められます。

よって、角①は４５度です。

（２）面積が何倍かを問われているので、面積比を求めます。

まず、ＢＣとＣＦの長さは等しく４ｃｍなので、ＡＦ＝１ｃｍです。

三角形ＡＧＦと三角形ＡＢＥは、３つの角度が等しいので相似で、

相似比はＡＦ：ＡＢ＝１：３ なので、面積比＝１×１：３×３＝１：９

とわかります。

次に、ＡＥで三角形を折り返したときに頂点ＢがＡＣ上にくるところを点 Ｉ とすると、

ＡＢ＝ＡＩ ＝３ｃｍで、Ｃ I ＝２ｃｍとわかります。

すると、三角形ＡＩＥの面積：三角形ＣＩＥの面積＝ＡＩ：ＩＣ＝３：２

となります。

図２のように、三角形ＡＢＣは、

三角形ＡＢＥ＋三角形ＡＩＥ＋三角形ＣＩＥ と等しくなり、

三角形ＡＢＥの面積 ＝ 三角形ＡＩＥの面積、

三角形ＡＩＥの面積 ： 三角形ＣＩＥの面積 ＝ ３ ： ２で、

三角形ＡＧＦの面積 ： 三角形ＡＢＥの面積 ＝ １ ： ９ より、

三角形ＡＧＦの面積 ： 三角形ＡＢＣの面積＝１：９＋９＋６＝１：２４

という面積比になるので、

三角形ＡＧＦの面積は、三角形ＡＢＣの面積の２４分の１倍です。

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