角度は?面積比は?(白百合学園中学 2003年)
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下図のような直角三角形ABCがあります。
AEを折り目として三角形を折ると、辺ABは辺ACと重なり、
CDを折り目として三角形を折ると、辺BCは辺ACと重なり、
頂点Bは点Fと重なります。このとき、次の問に答えなさい。
(1)角①(角AHD)の大きさを求めなさい。
(2)三角形AGFの面積は、三角形ABCの面積の何倍か求めなさい。
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(1)角①=角HAC+角HCA です。
AE,CDで三角形を折り返すと、AB,BCがACと重なるので、
角EAB=角EAC、角DCA=角DCB となります。
上の図1のように、それぞれの角度を■、▲と表すと、
角BAC+角BCA=180-角B=90度なので、
■+■+▲+▲=90度となり、■+▲=90÷2=45度と
求められます。
よって、角①は45度です。
(2)面積が何倍かを問われているので、面積比を求めます。
まず、BCとCFの長さは等しく4cmなので、AF=1cmです。
三角形AGFと三角形ABEは、3つの角度が等しいので相似で、
相似比はAF:AB=1:3 なので、面積比=1×1:3×3=1:9
とわかります。
次に、AEで三角形を折り返したときに頂点BがAC上にくるところを点 I とすると、
AB=AI =3cmで、C I =2cmとわかります。
すると、三角形AIEの面積:三角形CIEの面積=AI:IC=3:2
となります。
図2のように、三角形ABCは、
三角形ABE+三角形AIE+三角形CIE と等しくなり、
三角形ABEの面積 = 三角形AIEの面積、
三角形AIEの面積 : 三角形CIEの面積 = 3 : 2で、
三角形AGFの面積 : 三角形ABEの面積 = 1 : 9 より、
三角形AGFの面積 : 三角形ABCの面積=1:9+9+6=1:24
という面積比になるので、
三角形AGFの面積は、三角形ABCの面積の24分の1倍です。
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