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2014年8月17日 (日)

角度は?面積比は?(白百合学園中学 2003年)

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下図のような直角三角形ABCがあります。

AEを折り目として三角形を折ると、辺ABは辺ACと重なり、

CDを折り目として三角形を折ると、辺BCは辺ACと重なり、

頂点Bは点Fと重なります。このとき、次の問に答えなさい。

 Pic_0744q_2

(1)角①(角AHD)の大きさを求めなさい。

(2)三角形AGFの面積は、三角形ABCの面積の何倍か求めなさい。

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(1)角①=角HAC+角HCA です。

AE,CDで三角形を折り返すと、AB,BCがACと重なるので、

角EAB=角EAC、角DCA=角DCB となります。

  Pic_0745a

上の図1のように、それぞれの角度を■、▲と表すと、

角BAC+角BCA=180-角B=90度なので、

■+■+▲+▲=90度となり、■+▲=90÷2=45度と

求められます。

よって、角①は45度です。

 

(2)面積が何倍かを問われているので、面積比を求めます。

まず、BCとCFの長さは等しく4cmなので、AF=1cmです。

三角形AGFと三角形ABEは、3つの角度が等しいので相似で、

相似比はAF:AB=1:3 なので、面積比=1×1:3×3=1:9

とわかります。

次に、AEで三角形を折り返したときに頂点BがAC上にくるところを点 I とすると、

AB=AI =3cmで、C I =2cmとわかります。

すると、三角形AIEの面積:三角形CIEの面積=AI:IC=3:2

となります。

Pic_0746a_2

図2のように、三角形ABCは、

三角形ABE+三角形AIE+三角形CIE と等しくなり、

三角形ABEの面積 = 三角形AIEの面積

三角形AIEの面積 : 三角形CIEの面積 = 3 : 2で、

三角形AGFの面積 : 三角形ABEの面積 = 1 : 9 より、

三角形AGFの面積 : 三角形ABCの面積=1:9+9+6=1:24

という面積比になるので、

三角形AGFの面積は、三角形ABCの面積の24分の1倍です。

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