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2014年7月26日 (土)

直角二等辺三角形の面積は?(2006年算数オリンピック、ファイナルより)

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下の図において、点Eは正方形ABCDの辺CD上の点です。

また、三角形BEFは角BEF=90°の直角二等辺三角形で、

辺BFと辺ADが交わっている点をGとします。

AG=5cm、GD=15cmのとき、

直角二等辺三角形BEFの面積は何c㎡ですか。

1

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図のように、直角二等辺三角形BEFと合同な△緑を描き、

正方形FHBEを作ります。

さらに、この正方形を△EBCと合同な△黄4つで囲んで、

正方形JKCIを作り、BAの延長が辺JIと交わる点をLとします。

2

JF=LI=BC=20cmなので、

LF=①とすると、JI=JF+LI-LF=40cm-①

次に、△ABGと△LBFは相似で、

AB:AG=20:5=4:1なので、LB:LF=④:①

つまり、大きな正方形の1辺は④=40cm-① となり、

40cm=⑤ で、①=8cm、④=32cm

すると、JL=KB=20cm-8cm=12cm になり、

△黄の面積=20×12÷2=120c㎡

直角二等辺三角形BEFの面積=(32×32-120×4)÷2=272c㎡

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