直角二等辺三角形の面積は？（２００６年算数オリンピック、ファイナルより）

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下の図において、点Eは正方形ABCDの辺CD上の点です。

また、三角形BEFは角BEF＝９０°の直角二等辺三角形で、

辺BFと辺ADが交わっている点をGとします。

AG＝５ｃｍ、GD＝１５ｃｍのとき、

直角二等辺三角形BEFの面積は何ｃ㎡ですか。

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図のように、直角二等辺三角形BEFと合同な△緑を描き、

正方形FHBEを作ります。

さらに、この正方形を△EBCと合同な△黄４つで囲んで、

正方形JKCIを作り、BAの延長が辺JIと交わる点をLとします。

JF＝LI＝BC＝２０ｃｍなので、

LF＝①とすると、JI＝JF＋LI－LF＝４０ｃｍ－①

次に、△ABGと△LBFは相似で、

AB：AG＝２０：５＝４：１なので、LB：LF＝④：①

つまり、大きな正方形の１辺は④＝４０ｃｍ－①　となり、

４０ｃｍ＝⑤　で、①＝８ｃｍ、④＝３２ｃｍ

すると、JL＝KB＝２０ｃｍ－８ｃｍ＝１２ｃｍ　になり、

△黄の面積＝２０×１２÷２＝１２０ｃ㎡

直角二等辺三角形BEFの面積＝（３２×３２－１２０×４）÷２＝２７２ｃ㎡

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