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あるきまりにしたがって、右のように整数を並べていきました。
これについて、次の問いに答えなさい。
（1）19段目の真ん中の整数は何ですか。
（2）200は何段目の左から何番目に並んでいますか。
（3）17段目に並んでいる整数全部の和を求めなさい。
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↑違っているところを７つ見つけてください↓
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こたえ
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川の上流にＡ町、中流にＢ町、下流にＣ町があります。Ａ町からＢ町までの川の流れの速さは、Ｂ町からＣ町までの川の流れの速さの２倍です。静水上を一定の速さで進む船が、この川のＡ町とＣ町の間を往復しています。船がＢ町からＣ町へ進む速さと、Ｃ町からＢ町へ進む速さの比は ３ ： ２です。次の文の【 ア 】～【 カ 】に当てはまる整数を答えなさい。
（１）船が静水上を進む速さと、Ｂ町からＣ町までの川の流れの速さの比を最も簡単な整数の比で表すと【 ア 】 ： 【 イ 】
（２）船がＡ町からＢ町へ進む速さと、Ｂ町からＡ町へ進む速さの比を最も簡単な整数の比で表すと【 ウ 】 ： 【 エ 】
（３）Ａ町とＢ町の間のキョリと、Ｂ町とＣ町の間のキョリが同じとき、船がＡ町とＢ町の間を往復するのにかかる時間と、Ｂ町とＣ町の間を往復するのにかかる時間の比を最も簡単な整数の比で表すと【 オ 】 ： 【 カ 】
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解法例
（１）船がＢ町からＣ町へ進む速さと、Ｃ町からＢ町へ進む速さの比が ３ ： ２ です。
船の静水での速さを □、川の流れの速さを ○ とすると、
□＋○ ： □－○ ＝ ３ ： ２
ということなので、□＝２．５、○＝０．５ とわかり、
【 ア 】 ： 【 イ 】 ＝ ２．５ ： ０．５ ＝ ５ ： １
です。
（２）Ａ町からＢ町までの川の流れの速さは、
Ｂ町からＣ町までの川の流れの速さの２倍なので、
船の静水での速さを【５】、
B町からC町までの川の流れの速さを【１】とすると、
A町からB町までの川の流れの速さは【２】です。
よって、
【 ウ 】 ： 【 エ 】＝【５】＋【２】 ： 【５】－【２】＝７ ： ３
です。
（３）船がB町からC町へ進む速さと、C町からB町へ進む速さの比を表すと、
【５】＋【１】 ： 【５】－【１】 ＝ ６ ： ４ です。
Ａ町とＢ町の間のキョリと、Ｂ町とＣ町の間のキョリが同じとき
そのキョリを １ とすると、
A町からB町へ移動するのにかかる時間は、１/７
B町からA町へ移動するのにかかる時間は、１/３
B町からC町へ移動するのにかかる時間は、１/６
C町からB町へ移動するのにかかる時間は、１/４
となるので、
【 オ 】 ： 【 カ 】 ＝ １/７＋１/３ ： １/６＋１/４
＝１０/２１ ： ５/１２
＝ ４０ ： ３５ ＝ ８ ： ７
です。
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定員のちょうど27.5％がきちんと座れる電車があります。
この電車に30人の人が乗ると全員が座れますが、
40人の人が乗れば何人かの人が座れなくなります｡
この電車の定員を求めなさい。
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ある列車は、全長８２ｍの鉄橋を渡るのに２２秒かかります。
速さを２倍にすると、全長７０６ｍの鉄橋を渡るのに５０秒かかります。
この列車の長さは何ｍでしょうか？
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こたえ
速さを倍にすると８２ｍの鉄橋を２２÷２＝１１秒で渡ります。
７０６ｍの鉄橋と比較すると、列車の長さは同じなので、
５０－１１＝３９秒は、７０６－８２＝６２４ｍでついた差になります。
列車の速さは、１秒間に ６２４÷３９＝１６ｍ です。
１１秒では、１６×１１＝１７６ｍ進むので、
列車の長さは、１７６－８２＝９４ｍ です。
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果樹園の中に宝をうめました。図５は，宝をうめたあたりの地図です。
一本杉は，寺と神社から等しいきょりにあります。
宝をうめたのは，この３地点を頂点とするひし形の対角線上にあり，
学校からちょうど５ｋｍのところです。
宝がうまっていると考えられる地点を，答案用紙の地図にコンパスと三角定規を使って求め，★印をかき入れなさい。
ただし，コンパスや三角定規を使って引いた線は残しておきなさい。
また，一本杉，寺，神社，学校の位置は，地図中の ・ で示した地点です。
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解答例
問題文の通り作図したつもりですが、
宝のうまっていると考えられる場所が２箇所になってしまいました！
解答はこれでいいのかどうか？？？・・・・・・・
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上の図１のような台形の形をした２種類のタイルＡ，Ｂ がそれぞれ何枚かずつあります。
これらのタイルを １ｃｍ の辺どうしをぴったりつなげて並べ、
最後のタイルの １ｃｍ の辺が、はじめに並べたタイルの １ｃｍ の辺にぴったりとつながるようにします。
このように並べてできた図形について考えます。
たとえば、下の図２は、Ａ を３枚並べた図形で、下の図３は、Ａ を２枚、Ｂ を２枚並べた図形です。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）Ａ を２枚、Ｂ を６枚並べて図形を作ります。
できた図形の内側の周で囲まれた部分の面積は、図３ の図形の内側の周で囲まれた部分の面積の何倍ですか。
（２）Ａ を４枚、Ｂ を２枚並べて図形を作ります。
できた図形の外側の周の長さは何ｃｍですか。
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解答
（１）Ａ を２枚、Ｂ を６枚並べて作る図形は、下の図４のような長方形になります。
台形Ｂ は正三角形５個でできているので、上底が２ｃｍです。
よって、Ａ を２枚、Ｂ を６枚並べて作ってできる図形の内側の長方形の横の長さは、
２＋３＋２＝７ｃｍ で、図３の内側の長方形の横の長さが ２ｃｍ なので、
面積は ７÷２＝３．５倍 になります。
（２）Ｂの方が枚数が少ないので、Ｂを基準としてＡをつなげていくことを考えます。
下の図５のようにＢにＡを並べると、その先は下の図６のようになり、
上手くつながりません。そこで、下の図７のようにつなげると、
図７の太線は、平行になります。同じように、ＢにＡをつなげると下の図８のようになり、
図８を２つ合わせると、下の図９の図形ができます。
この図９の図形が、 Ａ を４枚、Ｂ を２枚並べてできる図形で、外側の周の長さは、
（３＋２＋３）×２＝１６ｃｍ です。
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下の図１のような台形ＡＢＣＤ があります。ＢＣ とＡＤ は平行で、
ＢＣ＝４ｃｍ、ＡＤ＝１０ｃｍ、ＡＢ＝ＣＤ です。
点Ｐ はこの台形の周上を、Ａを出発しＢからＣを通ってＤまで動きます。
点Ｐ の速さは、ＡＢ間は毎秒１ｃｍ、ＢＣ間は毎秒２ｃｍ、ＣＤ間は毎秒５ｃｍ です。
下の図２は点ＰがＡを出発してからの時間と三角形ＡＤＰ の面積の関係を表したグラフです。このとき、次の問に答えなさい。
（１）台形ＡＢＣＤ の面積を求めなさい。
（２）図２の（ア）、（イ）に当てはまる数を求めなさい。
（３）三角形ＡＤＰの面積が台形ＡＢＣＤ の面積の半分になるのは、点ＰがＡを出発してから何秒後と何秒後ですか。
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解答
（１）グラフより、三角形ＡＢＤ の面積が ２０ｃ㎡ ということがわかります。
下の図３からもわかるように、三角形ＡＢＤ と三角形ＢＣＤ は
高さが等しいので、その面積比は、１０：４＝５：２ です。
よって、三角形ＢＣＤ の面積は、２０×２/５＝８ｃ㎡ とわかるので、
台形ＡＢＣＤ の面積は、２０＋８＝２８ｃ㎡ です。
（２）ＢＣ間（４ｃｍ）を点Ｐは毎秒２ｃｍで進むので、２秒かかり、
（ア）～（イ）は２秒間であることがわかります。
ＡＢ間 と ＣＤ間 の速さの比が １ ： ５ なので、かかる時間は ５ ： 1です。
ＡＢ間 と ＣＤ間 にかかった時間は、８－２＝６秒で、これを ５ ： １
にわけると、５秒と１秒になり、
（ア）＝５秒
（イ）＝５＋２＝７秒
と求められます。
（３）台形ＡＢＣＤ の半分の面積は、１４ｃ㎡ です。
下の図４のグラフより、１４ｃ㎡ になるのが２回あることがわかり、
グラフの相似な三角形に注目すると、
１回目は、２０：５＝４：１＝１４：□で、
□＝１４÷４＝３．５秒
２回目は、２０：（８－７）＝２０：１＝（２０－１４）：△＝６：△で、
△＝６÷２０＝０．３秒
７＋０．３＝７．３秒
とわかり、
１回目は３．５秒後
２回目は７．３秒後
です。
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標準レベル
ある中学校のＡ組とＢ組の生徒は、全員が電車、自転車、徒歩のいずれかの方法で通学しています。
Ａ組の生徒の３/８は電車通学、１/２は自転車通学で、徒歩で通学しているのは４人です。
Ｂ組の生徒数はＡ組より１２．５％多く、電車通学の人数はＡ組と同じで、自転車通学の生徒の割合もＡ組と同じです。
Ｂ組の徒歩通学の生徒は何人ですか。
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金製品の品質を表すのに「○○金」という表示が使われます。
「２４金」の製品は１００％が金でできています。
例えば「１８金」の製品は１８/２４が金でできているということになります。
「１４金」の製品１２グラムと「９金」の製品３グラムをとかして混ぜたものを使うと、
「何金」の製品ができますか。
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こたえ
食塩水と同じ考え方でてんびん図を書いてみます。
１２ｇと３ｇは４：１なので、長さは逆比で１：４になります。
９～１４までを１＋４＝５つに分けると、
９/２４、１０/２４、１1/２４、１２/２４、１３/２４、１４/２４
つりあうのは１３のところで、１３/２４
つまり１３金になります。
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てんびんの左の皿に黒玉がいくつかのっており、
右の皿にもいくつかの白玉がのっていて、
ちょうど左と右の重さが同じでつりあっています。
黒玉は黒玉ですべて同じ重さで、白玉は白玉ですべて同じ重さです。
今、左の皿から２個の黒玉を右の皿に移し、
右の皿から１個の白玉を左の皿に移し、
同時に左の皿に20gのおもりをのせたらつりあいました。
つぎに、左の皿から1個の黒玉を右へ移し、
右の皿から２個の白玉を左に移し、
同時に右の皿に50gのおもりをのせたらつりあいました。
白玉、黒玉１個の重さはそれぞれ何ｇですか。
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線分図で考えてみます。
操作後につりあうためには、
１回目はＡの部分が等しくならなくてはなりません。
また同様に、２回目はＢの部分が等しくならなくてはなりません。
１回目より、○○＋20g＝●●●●……①
2回目より、○○○○＝●●＋50g……②
①を２倍すると、○○○○＋40g＝●●●●●●●●
②を代人すると、●●＋50g＋40g＝●●●●●●●●
これにより●は、(50＋40)÷(8－2)＝15ｇ
これを①に代入すると、○○＋20g＝60g
これにより○は、(60－20)÷2＝20ｇ
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夏の甲子園、全国高等学校野球選手権大会は、
４９校がトーナメント（勝ち抜き）戦を行います。
２回戦を行う高校が３２校のとき、
２回戦から出場する高等学校数は何校でしょうか？
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こたえ
４９チームのうち３２チームが２回戦を戦うということは、
１７チームは１回戦で姿を消したことになります。
姿を消した１７チームには対戦相手が１７チームいたわけで、
つまり１回戦は、１７×２＝３４チームが出場したことがわかります。
ということは、
２回戦から出場するのは、４９－３４＝１５チーム
とわかります。
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下の図は、底面が正方形である直方体の展開図です。
長方形ABCDの面積は４２０ｃ㎡です。
この立体の体積が最も小さくなるのは、ABが何cmのときですか。
ただし、各辺の長さは整数で、ABの長さはADの長さよりも長いものとします。
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底面の正方形の１辺が１ｃｍのとき、AD＝１×４＝４ｃｍ
このとき、AB＝４２０÷４＝１０５ｃｍ
底面の正方形の１辺が２ｃｍのとき、AD＝２×４＝８ｃｍ
このとき、AB＝４２０÷８＝５２．５ｃｍとなり不適当、
底面の正方形の１辺が３ｃｍのとき、AD＝３×４＝１２ｃｍ
このとき、AB＝４２０÷１２＝３５ｃｍ
底面の正方形の１辺が４ｃｍのとき、AD＝４×４＝１６ｃｍ
このとき、AB＝４２０÷１６→整数にならないので不適当、
底面の正方形の１辺が５ｃｍのとき、AD＝５×４＝２０ｃｍ
このとき、AB＝４２０÷２０＝２１ｃｍ
底面の正方形の１辺が６ｃｍ以上はAB＜ADとなり不適当、
底面の正方形の１辺が１ｃｍのとき、体積は １×１×１０５＝１０５立方ｃｍ
底面の正方形の１辺が３ｃｍのとき、体積は ３×３×３５＝３１５立方ｃｍ
底面の正方形の１辺が５ｃｍのとき、体積は ５×５×２１＝５２５立方ｃｍ
以上より、AB＝１０５ｃｍ
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長さ２ｍの針金を折り曲げて、三角形を作るとき次の問いに答えなさい。
（１）辺の長さはア＞ウ＞イ、アとウの差は18ｃｍ、ウとイの差は6ｃｍになるようにします。このとき、アの長さは何ｃｍになりますか。
（２）上の（１）で作った三角形ＡＢＣで、辺ＡＢ上に点ＰをとってＣとＰをまっすぐな針金で結びます。三角形ＣＢＰと三角形ＣＡＰのまわりの長さを等しくなるようにするには点ＰをＡから何ｃｍのところにとればよいですか。
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縦3cm、横4cm、高さ6cmの直方体をすき間なく組み合わせて、
最も小さな立方体をつくるとき、必要な直方体の個数はいくつでしょうか？
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立方体の１辺の長さは、小さい順に
６ｃｍ、７ｃｍ、９ｃｍ、１０ｃｍ、１２ｃｍ・・・・ が考えられますが、
その体積は、
６ｃｍ→２１６立法ｃｍ
７ｃｍ→３４３立法ｃｍ
９ｃｍ→７２９立法ｃｍ
１０ｃｍ→１０００立法ｃｍ
１２ｃｍ→１７２８立法ｃｍ
このうち、３×４×６＝７２立方ｃｍで割り切れるのは、６ｃｍと１２ｃｍの場合ですが、
６ｃｍの場合２１６÷７２＝３個 では立方体になりません。
１２ｃｍの場合、１７２８÷７２＝２４個で、
下の図のように立方体ができます。
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A君はおこづかいを持って買い物に出かけました。
最初に持っていたおこづかいの１/４を使って洋服を買い、
８００円の昼ご飯を食べて、残っていたお金の３/７を使って本を買ったところ、
最初に持っていたおこづかいの１/３が残りました。
最初に持っていたおこづかいはいくらですか。
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線分図にしてみましょう。
お昼を食べた後に残ったお金の４/７が、全体の１/３に相当することがわかります。
では、３/７は全体のいくつに相当するのか比例で考えると、
４/７：１/３＝３/７：□
□＝１/３×３/７÷４/７＝１/４
全体を１とすると、
１－（１/４＋１/４＋１/３）＝１/６ が８００円に相当します。
なので、全体の１、つまり最初に持っていたおこずかいは、
８００×６＝４８００円 になります。
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下の図において、点Eは正方形ABCDの辺CD上の点です。
また、三角形BEFは角BEF＝９０°の直角二等辺三角形で、
辺BFと辺ADが交わっている点をGとします。
AG＝５ｃｍ、GD＝１５ｃｍのとき、
直角二等辺三角形BEFの面積は何ｃ㎡ですか。
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図のように、直角二等辺三角形BEFと合同な△緑を描き、
正方形FHBEを作ります。
さらに、この正方形を△EBCと合同な△黄４つで囲んで、
正方形JKCIを作り、BAの延長が辺JIと交わる点をLとします。
JF＝LI＝BC＝２０ｃｍなので、
LF＝①とすると、JI＝JF＋LI－LF＝４０ｃｍ－①
次に、△ABGと△LBFは相似で、
AB：AG＝２０：５＝４：１なので、LB：LF＝④：①
つまり、大きな正方形の１辺は④＝４０ｃｍ－① となり、
４０ｃｍ＝⑤ で、①＝８ｃｍ、④＝３２ｃｍ
すると、JL＝KB＝２０ｃｍ－８ｃｍ＝１２ｃｍ になり、
△黄の面積＝２０×１２÷２＝１２０ｃ㎡
直角二等辺三角形BEFの面積＝（３２×３２－１２０×４）÷２＝２７２ｃ㎡
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直角三角形ABCを、
直線（ア）を軸として１回転させたときにできる立体の体積を求めなさい。
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回転させると図のようになります。
下の三角錐は立体で埋まっていますが、
上の三角錐はくぼんでいるので、その分円柱から引いて体積を求めます。
３×３×３．１４×４－３×３×３．１４×３×１/３
＝（３×３×４－３×３）×３．１４
＝２７×３．１４
＝８４．７８立方ｃｍ
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０でない５つの数Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ は、すべて異なる１ケタの整数で、
それらの間に、次の①～④の関係があります。
① Ａ÷Ｂ＝Ｂ
② Ｃ×Ｄ＝Ｄ
③ Ａ－Ｃ＝Ｄ
④ Ｂ×Ｄ＝Ｅ
このとき、５つの数Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ はそれぞれいくつですか？
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①が成り立つのは、
９÷３＝３ 、 ４÷２＝２
のどちらかです。Ａ＝９または４ 、 Ｂ＝３または２
②が成り立つのは、Ｃ＝１ のときだけです。
③で、Ｃ＝１なので、①より、Ｄ＝８または３ です。
④で、①、②より、
Ｂ×Ｄ＝２４ または ６ で、Ｅ は１ケタなので６に決まり、
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ は、
Ａ＝４、Ｂ＝２、Ｃ＝１、Ｄ＝３、Ｅ＝６
です。
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ご石を正方形の形に並べたら、
まわりのご石の数は４８個になりました。
正方形の１辺には何個のご石がありますか？
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下の図でスタートからゴールまでサイコロを転がしていきます。
スタートの位置では１の目を上にして、
そのあとは一度も１の目が上にならないようにゴールする転がし方を
点線に沿って書き入れてください。
ただし、同じところを２度通ったり、遠回りしをしてはいけません。
(１マスはサイコロ１つ分の大きさです）
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４回回転させると１が上になるので、
１を横にして回転させる行程を多くします。
図のような進み方だと１が上にならずにゴールできます。
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121を割ると１余り、
77を割ると５余るような整数のうち
最も小さい数を求めなさい。
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Ａ国とＢ国にはそれぞれ金貨と銀貨と銅貨があります。
それぞれの国では、次のように両替できます。
［Ａ国］ 金貨１枚＝銀貨４枚 銀貨１枚＝銅貨５枚
［Ｂ国］ 金貨１枚＝銀貨６枚 銀貨１枚＝銅貨７枚
また、Ａ国の銅貨３枚でＢ国の銅貨２枚に両替できます。
いま、Ａ国の金貨を１３枚、銀貨を３枚、銅貨を４枚持っています。
これらのお金をできるだけ多く、
また、枚数の合計が少なくなるように、Ｂ国のお金に両替するとき、
Ｂ国の金貨、銀貨、銅貨はそれぞれ何枚になりますか。
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A金１３×４＝A銀５２
A銀５２＋A銀３＝A銀５５
A銀５５×５＝A銅２７５
A銅２７５＋A銅４＝A銅２７９
A銅２７９×２/３＝B銅１８６
B銅１８６÷７＝B銀２６ あまり B銅４
B銀２６÷６＝B金４ あまり B銀２
以上より、B国の金貨４枚 銀貨２枚 銅貨４枚
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下の図のような、
ＡＢの長さが１２ｃｍ、ＡＤの長さが４８ｃｍの長方形の紙ＡＢＣＤを、
頂点Ｂと頂点Ｄが重なるように折り、元通り開きました。
折り目の線をＥＦ とするとき、四角形ＢＦＤＥの面積を求めなさい。
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ＢＤ と ＥＦ は直角に交わるので、下の図１の４つの三角形はすべて合同で、
三角形ＡＢＤ と相似です。
図１をふまえて、Ｅ からＢＣに垂線を下ろし、交点をＧ とすると、
下の図２のようになり、
三角形ＡＢＤ と三角形ＧＦＥ は相似になります。
（角Ａ＝角ＥＧＦ＝９０°、角ＡＢＤ＝角ＧＦＥ）
よって、ＧＦ ： ＧＥ ＝ １２ ： ４８ ＝ １ ： ４ なので、
ＧＥ＝１２ｃｍ より、ＧＦ＝３ｃｍ とわかります。
ＡＥ＝ＣＦ＝（４８－３）÷２＝２２．５ｃｍ とわかり、
三角形ＢＦＤＥ の面積は、
（４８－２２．５）×１２＝３０６ｃ㎡
です。
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５つの整数があります。
この５個の中から３個の整数を選んで和を計算します。
この和を小さい順に並べると、
３５、４６、４７、４８、４９、５１、６０、６２、６３ となりました。
３つの整数の組み合わせは全部で１０通りなので、
１つの和だけは２回出てくることになりますが、それはどれでしょうか？
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５つの整数を、A、B、C、D、Eとすると、
１０通りの和には、３×１０＝３０個の整数が含まれているので、
各整数は、３０÷５＝６回ずつ足されていることになります。
A×６＋B×６＋C×６＋D×６＋E×６＝（A＋B＋C＋D＋E）×６
となるので、１０通り全部の和は６の倍数です。
３５＋４６＋４７＋４８＋４９＋５１＋６０＋６２＋６３＝４６１
４６１は６で割ると５余るので、
残りの整数は６で割ると１余る数、４９だとわかります。
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Ａ君とＢ君はＰ地点を同時に出発し、Ｐ地点から４２ｋｍはなれたＱ地点に向かいました。
Ａ君は一定の速さで進みました。
また、Ｂ君はＰ地点から２８ｋｍはなれたＭ地点まで一定の速さで進んだのち、２０分間休み、
Ｍ地点から先はそれまでの ３分の１倍の速さで進みました。
Ｂ君がＭ地点を出発して１時間２１分後、Ａ君はＢ君を追い抜き、
その後、Ａ君はＢ君より２０分早くＱ地点に着きました。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）Ｂ君がＭ地点に着いたとき、Ａ君はＢ君の後方何ｋｍ の地点にいましたか。
（２）Ａ君はＰ地点を出発して何時間何分後にＱ地点に着きましたか。
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（１）A君とＢ君の移動の様子を下の図１のようにグラフにすると
Ｂ君のグラフを２０分ずらすと、
Ａ君とＢ君は同じ時間にＱ地点に着くことがわかります。
Ｂ君がＭ地点からＱ地点へ向かう速さを【１】とすると
Ｐ地点からＭ地点までは【３】です。
Ｂ君がＰ地点からＱ地点まで、１４ｋｍごとにかかる時間を考えます。
Ｐ地点から１４ｋｍを＜１＞とすると、１４ｋｍからＭ地点も＜１＞
Ｍ地点からＱ地点までは＜３＞という時間がかかります。
一方、Ａ君は同じ速さで進んでいて、Ａ君がＰ地点からＱ地点に
着くまでの時間は＜５＞で、
Ｂ君がＭ地点に着いたときは＜２＞の時間が経過しているので、
Ａ君が進んだキョリは、
４２×２/５＝１６．８ｋｍ
とわかり、Ａ君はＢ君の、２８－１６．８＝１１．２ｋｍ 後方にいた
ということになります。
（２）Ａ君の速さについて考えると、
Ｂ君が２８ｋｍ進む間にＡ君は１６．８ｋｍ進んでいるので、Ａ君の速さは、
【３】 × １６．８/２８ ＝ 【１．８】
とわかります。
Ａ君の速さと、Ｂ君がＭ地点からＱ地点へ進むときの速さの比は
【１．８】 ： 【１】 ＝ ９ ： ５
なので、同じキョリを進むのにかかる時間の比は、
逆比になって ５ ： ９ となります。
Ａ君がＢ君に追いつく場所をＲ地点とすると、下の図２のように
Ａ君がＭ地点からＲ地点までにかかる時間は⑤
Ｂ君がＭ地点からＲ地点までにかかる時間は⑨
となります。
⑨＝８１分 なので、 ⑤＝４５分 になります。
すると、下の図３のように、Ａ君は１１．２ｋｍ を５６分で移動したことがわかるので、
Ａ君がＰ地点を出発してからＱ地点に着くまでにかかる時間は
１１．２ ： ５６分 ＝ ４２ ： □
より、
□＝５６×４２÷１１．２＝２１０分＝３時間３０分
と求められます。
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同じ大きさの立方体23個を図のように積み上げ，床についている面を除いた表面をすべて緑色のペンキで塗りました。次の立方体はそれぞれいくつありますか。
①３つの面が緑色で塗られている立方体は
②２つの面が緑色で塗られている立方体は
③１つの面が緑色で塗られている立方体は
④どの面も緑色で塗られていない立方体は
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図のように，Ａ町とＢ町，Ｂ町とＣ町の間には，それぞれ２本，３本の道路があります。Ｐ，Ｑ２人がＡ町を出発してＢ町を通り，Ｃ町へ行くのに、２人がべつべつの道を通ることにすると、２人の行き方の組み合わせは全部で何通りありますか。
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下の図は、
正三角形ABGと正六角形ＢＣＤＥＦＧを合わせて作った五角形ACDEFです。
ＡＤ、ＡＥがＢＧと交わる点をそれぞれH、Iとするとき、
三角形DIHの面積は、五角形ACDEFの面積の何倍ですか。
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図のように赤い正三角形をたして見てみると、
AD、AEは大きな正三角形の底辺を３等分しています。
したがって、H、IはBGを３等分している点になるので、
△水色、△黄、△緑は底辺も高さも等しく、面積も等しくなります。
正三角形ABGの面積を１とすると、
△黄＝１×２×１/３＝２/３
五角形ACDEF＝７ なので、
△DIHの面積は五角形ACDEFの面積の
２/３÷７＝２/２１ 倍です。
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図のように，整数を１から順に６３まで円形にならべ，
１から始めて，１つおきに１，３，５，…，６３，４，…と取り除いていき，
最後に１つの数が残るまで続けます。
（１）１０は何番目に取り除きますか。
（２）最後に残る数は何ですか。
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下の図は３つの正方形を重ねたもので、点Eは辺ADのまん中の点です。
アの部分の面積が、イの部分の面積の１/３であるとき、
ウの部分の面積は、正方形ABCDの何分のいくつですか。
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EGが正方形の対角線なので、
赤い四角形は正方形になります。
ア＝△赤 、イ＝△黄 なので、
面積比が△黄：△赤＝３：１ より底辺が同じなので、高さ比も３：１
△黄と△緑は相似で高さ比は３：１ より、面積比は３×３：１×１＝９：１
△緑：（△黄＋△赤）＝１：（９＋３）＝１：１２
△黄＋△赤が正方形ABCDの１/８なので、
△緑は正方形ABCDの１/１２×１/８＝１/９６
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４％の食塩水10gに６％と10％の食塩水を加えて，
７％の食塩水を100g作りました。
このとき，６％の食塩水は何ｇ加えましたか。
なお，この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。
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こたえ
７％の食塩水が１００ｇできたので、
４％の食塩水に加えた食塩水は９０ｇです。
これをてんびん図で表すと下図のようになります。
重さの比は１：９ですから、てんびんの長さの比は逆比になって、
９：１
４％から７％までを９つ分割すると、１目盛りは１/３％です。
加えた食塩水は７と１/３％であったことがわかります。
６％の食塩水と１０％の食塩水を加えて、
７と１/３％の食塩水９０ｇを作ったと考えると、
てんびん図では下図のようになります。
１目盛りを１/３％ととして考えると、
てんびんの長さ比は４：８＝１：２ です。
重さの比は逆比になり、２：１なので、
６％の食塩水は、９０ｇ×２/（２＋１）＝６０ｇ になります。
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○、□の２種類の重さの異なるおもりが何個がずつあり、
その重さは１、２、３、４、５、６、７、８、９ｇのいずれかです。
同じ種類のおもりの重さは等しいのですが、
はかりにのせたら図のようになりました。
○、□の２種類の重さはそれぞれ何ｇでしょうか？
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図からわかることを式にしてみましょう。
３×○＞５×□・・・・・・①
９×□＞５×○・・・・・・②
①×５、②×３ としてみると、
１５×○＞２５×□・・・・・・③
２７×□＞１５×○・・・・・・④
③と④から
２７×□＞１５×○＞２５×□・・・・・・⑤ となり、
○＝１ｇ のとき、□が２～９ｇで⑤は成り立たず、
○＝２ｇ のとき、□が１ｇと３～９ｇで⑤は成り立たず、
○＝３ｇ のとき、□が１～２ｇと４～９ｇで⑤は成り立たず、
○＝４ｇ のとき、□が１～３ｇと５～９ｇで⑤は成り立たず、
○＝５ｇ のとき、□が１～４ｇと６～９ｇで⑤は成り立たず、
○＝６ｇ のとき、□が１～５ｇと７～９ｇで⑤は成り立たず、
○＝７ｇ のときだけ、□が４ｇで、１０８ｇ＞１０５ｇ＞１００ｇと⑤が成り立ち、
○＝８ｇ のとき、□が１～７ｇと９ｇで⑤は成り立たず、
○＝９ｇ のとき、□が１～８ｇで⑤は成り立たず、
○＝７ｇ、□＝４ｇ となります。
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図のような１２個の同じ大きさの正方形でできた図形があります。
同じ形で２等分したいのですが、
図の「例」以外に５通りあげてみてください！
↓例
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ある年の１月には、月曜日と金曜日が、ともに４回ずつあります。
この年の１月２０日は何曜日ですか。
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１月は ３１日まであります。
下の図１のように、カレンダーを描くと、
月に４回あるのは、４，５，６，７日が始まりのところです。
図１の ４日のところに【月曜日】をあてはめると、
【金曜日】は、１日のところに来てしまい、５回になってしまいます。
そこで、下の図１のように、４日のところに【金曜日】をあてはめると、
金曜日も月曜日も４回になり、これ以外の場合はありえません。
よって、この年の１月２０日は、日曜日です。
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ややムズレベル
厚さが1cmの４つの円盤①，②，③，④があります。それぞれの円盤の半径は，①が1cm，②が2cm，③が3cm，④が4cmです。これらの円盤を重ねて立体を作ります。ただし，重なっている部分が円になるようにします。図１のように重ねてはいけません。また，円周率は3.14とします。
(1)図２のように重ねたときの立体の表面積を求めなさい。
(2)立体の表面積がもっとも大きくなるような積み方を，例にならって１つあげなさい。
(例)図２の場合:〔①，②，③，④〕
(3)(2)のときの立体の表面積を求めなさい。
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次の式を成り立たせるような４けたの整数ABCDを求めてください。
ただし、A、B、C、Dはすべて異なるとは限りません。
２０１２＋ABC＝ABCD
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ABC×１０＝ABC０なので、
２０１２＝ABC×９＋D と表せます。
２０１２÷９＝２２３あまり５なので、
ABCD＝２２３５とわかります。
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図のように、合同な直角二等辺三角形が４つ、一直線上に並んでいます。
両端の直角二等辺三角形の頂点を結んだとき、
斜線部分の面積の合計は何ｃ㎡になりますか？
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赤い直角三角形は底辺：高さ＝４：１ なので、
高さア、イ、ウをこの相似比を使って求めます。
ア＝６×３×１/４＝４．５ｃｍ
イ＝６×２×１/４＝３ｃｍ
ウ＝６×１/４＝１．５ｃｍ
三角形A、B、Cも相似でAの底辺＝ア＝４．５ｃｍ、高さ＝６ｃｍ なので、
ｂ＝３×６/４．５＝４ｃｍ
ｃ＝１．５×６/４．５＝２ｃｍ
A＋B＋C＝（４．５×６＋３×４＋１．５×２）÷２＝２１ｃ㎡
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下の図のように、円の中に三角形があり、アからエの４つの部分に分けられています。
これらの４つの部分を赤、青、黄の３色のクレヨンを用いて、同じ色がとなりあわないように、ぬり分けます。
このとき、次の問に答えなさい。イ、ウ、エはそれぞれ大きさが異なるものとします。
（１）３色の中から２色を使ってぬり分けると、何通りのぬり方がありますか。
（２）３色すべての色を使ってぬり分けると、何通りのぬり方がありますか。
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（１）三角形のアの部分は、
イ、ウ、エ のすべてととなりあっているので、２色、たとえば赤と青を選んだ場合は、
赤でア、青でその他 または、青でア、赤でその他の２通りのぬり方になります。
３色から２色を選ぶ選び方は、３通り あるので、
ぬり方は、３×２＝６通り です。
（２）色のぬり分け方は、
ア、イ、（ウ＝エ）・・・・・・①の場合、
ア、（イ＝ウ）、エ・・・・・・②の場合、
ア、（イ＝エ）、ウ・・・・・・③の場合
の３通りとすると、
①の場合のとき、赤、青、黄 でのぬり方は、
３×２×１＝６通りあり、
②の場合、③の場合も同様なので、
ぬり方は合計すると
６×３＝１８通り
となります。
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斜めに切った円柱や角柱の体積を求めるには、
どうすればいいでしょうか？
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同じ立体を上に重ねて考えます。
直方体も
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Ａ君がオートバイに乗って山に向かっています｡山に向かってクラクションをならすと12秒後にこだまが聞こえてきました。それから１０秒後に再びならすと、今度は８秒後にこだまが聞こえてきました。音の速さを毎秒340mとするとオートバイは山に向かって時速何kmで走っていますか。
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ACとDFは平行です。AC、DF上にそれぞれB、Eをとります。
AEとBDが交わる点をG、CEとBFの交わる点をHとします。
今、HCがEHの１．５倍の長さで、三角形ADGの面積が１０ｃ㎡、
三角形CEFの面積が２０ｃ㎡のとき、四角形BGEHの面積を求めなさい。
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△赤と△青の面積比は１．５：１＝３：２ なので、
△赤＝２０×３/（３＋２）＝１２ｃ㎡
ACとDFが平行なので、△（赤＋青）＝△（ピンク＋青）
△青が共通なので、△赤＝△ピンク＝１２ｃ㎡
同様に△黄＝△水色＝１０ｃ㎡
四角形BGEH＝１２＋１０＝２２ｃ㎡
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図のような長方形の中の黄色部分の面積を求めてください。
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図のように、長方形の半分からアとイの三角形を引けばいいのですが、
２つの赤三角形は相似で相似比が５：３、
２つの緑三角形も相似で相似比は４：１、
ア＝３×１６×３/８÷２＝９ｃ㎡
イ＝４×５×１/５÷２＝２ｃ㎡
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黄＝１６×５÷２－（９＋２）＝２９ｃ㎡
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ある親子がいっしょに歩くとき、５ｍ あたり ２．７秒かかって、親が６歩で歩くのに対して、子供は８歩で歩きます。親子が別々に歩くとき、親は５ｍあたりの速さも歩数も子供と歩くときと変わりませんが、子供は ３．７秒かかって１０歩で歩きます。この親子が家から公園までの半分のキョリをいっしょに歩き、残り半分を別々に歩いて公園に着いたとき、子供の歩数は親の歩数よりも ７８歩多かったです。このとき、次の問に答えなさい。
（１）家から公園までのキョリは、何 ｍ ですか。
（２）子供が家から公園まで歩くのにかかった時間は何秒ですか。
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（１）家から公園までを【前半】と【後半】に分けると、
【前半】では、親と子の歩数の差は、５ｍにつき２歩ずつ
【後半】では、親と子の歩数の差は、５ｍにつき４歩ずつ
となるので、
【前半】でできた歩数の差 ： 【後半】でできた歩数の差＝１：２
という比になります。
歩数の差の ７８歩を１：２ に分けると、２６歩 と ５２歩 で、
【前半】のキョリ＝５×（２６÷２）＝６５ｍ とわかり、
家から公園までのキョリは、６５×２＝１３０ｍ です。
（２）【前半】は５ｍあたり２．７秒、
【後半】は５ｍあたり３．７秒の時間がかかるので、
子供が家から公園に行くまでにかかった時間は、
１３×２．７＋１３×３．７＝１３×６．４＝８３．２秒
です。
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図のような１辺が２７ｃｍの正方形の紙から黒い部分を切り取って、
黄色い正方形が底、４隅の三角形が上ぶたになるような、
直方体の箱を作ろうと思います。
箱の高さは黄色い正方形の１辺の長さの半分です。
黄色い部分の面積は何ｃ㎡になるでしょうか？
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図のように区切ってみると、
全体が黒い直角二等辺三角形３６個でできていることがわかります。
黄色部分は８個なので、全体の８/３６＝２/９
したがって、その面積は ２７×２７×２/９＝１６２c㎡ になります。
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５％の食塩水１００ｇに、３％の食塩水と８％の食塩水を加えて
７％の食塩水６００ｇを作りました。
加えた３％の食塩水と８％の食塩水の重さはそれぞれ何ｇでしたか。
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加えた食塩水は３％と８％とを合わせて６００－１００＝５００ｇです。
重さの比は、５００：１００＝５：１なので、てんびん図で表すと、
長さの比は逆比で１：５なので、
加えた５００ｇの濃度は（７－５）÷５×１＋７＝７．４％ だったことになります。
３％と８％の食塩水を混ぜて７．４％の食塩水５００ｇができたと考えれば、
図のように、長さの比が、
（８－７．４）：（７．４－３）＝０．６：４．４＝３：２２ なので、
８％と３％の重さの比は２２：３
８％の食塩水の重さ＝５００×２２/（２２＋３）＝４４０ｇ
３％の食塩水の重さ＝５００×３/（２２＋３）＝６０ｇ
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４つの分数、
１２/２５、１１/２４、１９/３９、１１/２９ があります。
このうち最大の分数と最小の分数の差はいくつでしょうか？
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１２/２５、１１/２４、１９/３９は分子が分母の半分未満の最大の整数なので、
１/２にかなり近いことがわかります。
それに対し、１１/２９は分母に対し分子がさらに小さいので、最小の分数です。
最初の３つの分数を１/２と比較してみます。
１/２－１２/２５＝１２．５/２５－１２/２５＝０．５/２５
１/２－１１/２４＝１２/２４－１１/２４＝１/２４＝０．５/１２
１/２－１９/３９＝１９．５/３９－１９/３９＝０．５/３９
１/２との差が一番小さい１９/３９が最大の分数とわかります。
したがって、（最大－最小）は
１９/３９－１１/２９＝１２２/１１３１
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１辺が10cmの正方形に、円がぴったり入っています。またその円に正方形がぴったり入っていて、さらにその小さい正方形に円がぴったり入っているとすると、斜線部分の面積は、何ｃ㎡ですか。
ただし、円周率は3.14とします。
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平行四辺形の中の１点と各頂点を結んだら、
面積が図のようになりました。
黄色部分の面積は何ｃ㎡でしょうか？
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図のように区切ってみると、面積の等しい三角形の組が４つできます。
（A＋D）＋（B＋C）－（A＋B）＝（D＋C）
となるので、
黄色部分＝８＋１１－１３＝６ｃ㎡ となります。
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兄は家から３．６ｋｍ離れた町まで１時間で歩きました。弟は兄より２５分おくれて自転車で家を出発し、途中で兄を追い抜き町に２０分で着きました。追い抜いた地点の家からの距離と時間を求めなさい。
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下の図は、平面を同じ大きさの正三角形でしきつめたものです。また、下の図で表されるような位置に、点Ｏ，点Ｘ，点Ｙ，直線ＸＹ があります。
点Ｙ を中心にして、直線ＸＹ を反時計回りに ６０度回転させたとき、点Ｘ が移る先の点を Ｚ とします。
（１）点 Ｚ を図１に黒丸で書き入れなさい。また、書き入れた黒丸の近くに Ｚ と書きなさい。
（２）角ＸＯＺ の大きさを答えなさい。
次に、下の図２のような正六角形ＡＢＣＤＥＦ の形をした紙を考え、直線ＢＤ と直線ＣＦ の交点を Ｉ とします。点Ａ と点 Ｉ が重なるようにこの紙を折り、元にもどします。すると、折り目は２つの辺 ＥＦ，ＡＢ と交わりました。このとき、折り目と辺ＥＦ との交点をＰ，辺ＡＢ との交点をＱ とするとき、次の問に答えなさい。
（３）ＥＰ と ＰＦ の長さの比、およびＡＱ とＱＢ の長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
（４）四角形ＡＱＰＦ の面積は、正六角形ＡＢＣＤＥＦ の面積の何倍になりますか。分数で答えなさい。
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（１）いきなり点Ｘ を回転させるのは難しいので、次のように考えましょう。
下の図３のように、点Ｙ から点Ｘ へ、直線ＸＹ ではなく、
正三角形の線を通って向かう青線と赤線を考えます。
青線は正三角形の辺４本分、赤線は２本分です。
次に、下の図４のように、まず青線を６０°回転させます。
下の図５のように、青線と赤線は１２０°をなしているので、
青線の先（Ｗ）から１２０°の角度で赤線を引けば、そこが点Ｚ の位置になります。
三角形ＹＶＸ と三角形ＹＷＺ が合同で、線ＶＹが６０°回転しているで、
線ＸＹ も６０°回転して点Ｚ の位置になります。
（２）下の図６のように、点Ｘ から点Ｚ までを青線と赤線で結ぶことができ、
三角形ＹＶＸ，ＹＷＺ，ＺＵＸ は合同なので、
ＸＹ＝ＹＺ＝ＺＸ とわかり、三角形ＸＹＺ は正三角形です。
点Ｏ はＸＹ のまん中の点なので、
正三角形の頂点（Ｚ）から底辺の真ん中の点へ線を引いたときにできる角ＸＯＺ は
９０°（直角）となります。
（３）正六角形を図１に書きこむと、下の図７のようになります。
ちょうど、点Ａ，Ｉ は、図１の点Ｙ，Ｘ になります。
そして、点Ａ を点 Ｉ と重なるように折ったときの折り目は、
直線Ａ Ｉ と垂直に交わる線で、図６の点Ｏ，Ｚ を結んだ線と同じになるので、
図６に書き込むと、下の図８のようになります。
点Ｐ はＥＦ のまん中の点なので、ＥＰ ： ＰＦ ＝ １ ： １ です。
次に、下の図９のように
三角形ＯＱＲ と三角形ＯＴＳ は合同で、
さらに三角形ＯＰＧ と相似で、相似比が １ ： ２ なので、
ＱＲ の長さは、正三角形の１辺の長さの半分とわかり、
ＡＱ ： ＱＢ ＝ ７ ： １ です。
（４）正六角形ＡＢＣＤＥＦ は、正三角形９６個分の面積です。
四角形ＡＱＰＦ は、（３）より、三角形ＯＱＲ と三角形ＯＴＳ が合同なので、
面積を移すことができます。
また、下の図１０で点Ｔ がＳＨのまん中の点なので、
三角形ＰＴＨ の面積は、平行四辺形ＰＧＳＨ の面積の ４分の１ となります。
平行四辺形ＰＧＳＨ は正三角形４個分の面積なので、
三角形ＰＴＨ の面積は、正三角形１個分の面積とわかります。
よって、四角形ＡＱＰＦ の面積は、
平行四辺形ＡＲＳＦ（正三角形２４個分）
三角形ＰＨＦ（正三角形４個分）
三角形ＰＴＨ（正三角形１個分）
でできているので、
正三角形２９個分ということがわかります。
ゆえに、四角形ＡＱＰＦ の面積は、正六角形ＡＢＣＤＥＦ の面積の
２９/９６倍
です。
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さとる君と道子さんがいただいたお年玉の金額の割合は４：３でしたが、２人の使った金額の割合が９：７でしたので、さとる君は1300円、道子さんは900円残りました。さとる君のいただいたお年玉は何円でしたか。
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標準レベル
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ややムズレベル
連立方程式みたいな面白い問題ですが、どう工夫しますか？
２つの数の積について、A～Eの５つの式が成り立ちます。
このとき★に入る数を求めなさい。
ただし、同じ記号には同じ数が入ります。
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図のような道路があります。
ＡからＢまで行く際、太い道Ａ→Ｄ→Ｂを歩いて行くと35分かかり、また車に乗って細い道Ａ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｂを行くと22.5分かかります。
細い道Ｄ→Ｅ→Ｂの距離は、太い道Ｄ→Ｂの距離の３倍です。また、細い道Ａ→Ｃ→Ｄの距離は、太い道Ａ→Ｄの距離の５倍です。車の速さは、歩く速さの６倍であることが分かっています。
それでは、まず太い道Ａ→Ｄを歩き、それから細い道Ｄ→Ｅ→Ｂを車で行くとすると、Ａを出発してＢに到着するまでにかかる時間は何分ですか？
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太い道Ａ→Ｄ→Ｂの距離を35、太い道Ａ→Ｄの距離をｘ（＝□）とすると、
細い道Ａ→Ｃ→Ｄの距離は５×□
細い道Ｄ→Ｅ→Ｂの距離は3×（35－□）
歩く速さを毎分１、車の速さを毎分６ とすると、
細い道Ａ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｂ の車での所要時間は
{5×□＋3×(35－□)}÷6＝22.5分 なので、
□＝15
よって、太い道Ａ→Ｄを歩く所要時間は
15÷1＝15分
細い道Ｄ→Ｅ→Ｂの車での所要時間は
3×(35－15)÷6＝10分
求める時間は 15＋10＝25分
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１ｇ，２ｇ，４ｇのおもりが３個ずつ合計９個あります。
この中からおもりを１個または２個、または３個選んだとき、
１ｇから12gのあいだの重さで，量ることのできない重さは何ｇでしょうか？
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１＝１
２＝２
３＝１＋２
４＝４＝２＋２＝１＋２＋１
５＝１＋２＋２＝１＋４
６＝２＋２＋２＝２＋４
７＝１＋２＋４
８＝４＋４＝４＋２＋２
９＝４＋４＋１
１０＝４＋４＋２
１１＝×
１２＝４＋４＋４
よって、１１ｇが量れません。
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あきお君とたけし君とよしお君の３人が600m競争をしました。
あきお君が１分36秒でゴールに入ったとき、たけし君はゴールまであと24mのところを走っていました。
また、よしお君がゴールに入ったのは、たけし君がゴールに入ってから2.4秒後でした。
あきお君がゴールに入ったとき、よしお君はゴールまで何ｍのところを走っていましたか。
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たけし君は１分３６秒＝９６秒で、６００－２４＝５７６ｍ走るので、
１秒間に５７６÷９６＝６ｍ走ります。
２４ｍは、２４÷６＝４秒かかるので、ゴールしたのは９６＋４＝１００秒後、
よしお君は、その２．４秒後なので、１０２．４秒でゴールしました。
あきお君との差は、１０２．４－９６＝６．４秒、
よしお君が６．４秒で走るキョリは、
６００ｍ×６．４/１０２．４＝６００×１/１６＝３７．５ｍ です。
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中学入試でよく出題される、
図のような正方形の中の木の葉形部分の面積ですが、
正方形の１辺を１、円周率を３．１４とすると、答えは０．５７になります。
この数字覚えておくと便利です。
木の葉形には姿を変えた仲間たちがたくさんいます。
みんな同じ面積なので、０．５７がとても重要になってくるわけです。
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半径３ｃｍの円が４つ、図のように重なっています。
緑部分の面積の合計は何ｃ㎡でしょうか？
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水色部分を黄色に移動すると、
中心角２４０°のおうぎ形２つ分になります。
したがって、
３×３×３．１４×２４０/３６０×２＝３７．６８ｃ㎡
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Ａ地点とＢ地点の２つの地点があり、自動車ＰはＡ地点からＢ地点へ時速３６ｋｍで走り、自動車ＱはＢ地点からＡ地点へ時速４５ｋｍで走ります。自動車ＰがＡ地点からＢ地点まで行くのにかかる時間と、自動車ＱがＢ地点からＡ地点まで行くのにかかる時間の合計は１時間２４分です。２台の自動車ＰとＱがそれぞれ Ａ地点、Ｂ地点を同時に出発したところ、Ａ地点とＢ地点の間にある Ｃ地点では、自動車Ｐが通りすぎてから自動車Ｑが通りすぎるまでに１分２９秒かかりました。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）Ａ地点からＢ地点までのキョリは何ｋｍですか。
（２）自動車ＱがＣ地点を通りすぎたとき、Ｃ地点から自動車Ｐまでのキョリは何ｋｍですか。
（３）Ａ地点からＣ地点までのキョリは何ｋｍですか。
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（１）Ｐ と Ｑ の速さの比は、３６ ： ４５ ＝ ４ ： ５ なので、
Ｐ と Ｑ がＡ地点からＢ地点まで行くのにかかる時間の比は、
逆比となって、 ５ ： ４ です。
１時間２４分＝１．４時間 を ５ ： ４ に分けると、
７/９時間と２８/４５時間 になります。
よって、Ａ地点からＢ地点までのキョリは、
３６×７/９＝２８ｋｍ （４５×２８/４５＝２８ｋｍ）
です。
（２）自動車Ｐ の分速＝３６÷６０＝０．６ｋｍ です。
自動車ＱがＣ地点を通りすぎたとき、Ｃ地点から自動車Ｐ
までのキョリは、１分２９秒＝８９/６０（分）より、
８９/６０（分）×０．６＝０．８９ｋｍ
です。
（３）（２）までのことを利用することを考えましょう。
（２）の様子を下の図１に表しました。
Ｐ と Ｑ の速さの比が、４ ： ５ なので、進んだキョリを④、⑤
とすると、④＋⑤＝２８＋０．８９＝２８．８９ｋｍ です。
よって、④＝２８．８９×４/９＝１２．８４ｋｍ とわかり、
Ａ地点からＣ地点までのキョリは、
１２．８４－０．８９＝１１．９５ｋｍ
と求められます。
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下の図のように、白、赤、青のタイルを
１行目は 白１枚
２行目は 左から白、赤、青の３枚
３行目は 左から白、赤、青、白、赤の５枚
というように、白、赤、青の順番に並べていきます。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）１０行目の１番右のタイルは何色ですか。
（２）１行目から１４行目までタイルを並べたとき、青色のタイルは全部で何枚ありますか。
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（１）一番右のタイルは、白→青→赤→白→青→赤→ ・・・となっているので、
１０行目の一番右のタイルは、白です。
（２）下の図１のように ５行目を加え、
【白】を数えてみると、１行目から、１、１，２、３，３，４，５，５，６・・・
となることに気付きます。
【青】も２行目から同様に並びます。
１４行目の一番右のタイルは青色で、
１＋１＋２＋３＋３＋４＋・・・＋８＋９
＝４＋１０＋１６＋２２＋９
＝６１枚
のタイルがあることになります。
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0000から9999までの電話番号に用いられている４けたの数のうち、
0545のように５を２個以上ふくむのは何通りあるか、求めなさい。
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１からＡ までの連続した整数をかけて数を作ります。このようにして作った数について、一の位から連続して並ぶ「０」の個数を記号＜Ａ＞で表します。
例えば、
１×２×３×４＝２４ なので、＜４＞ の数値は「０」で、
１×２×３×４×５＝１２０ なので、＜５＞ の数値は「１」です。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）＜１０＞、＜１５＞の数値をそれぞれ答えなさい。
（２）＜Ａ＞ の数値にならない整数があります。それらのうち、小さい方から２つ答えなさい。
（３）＜１＞、＜２＞、＜３＞、・・・、＜１２５＞ の数値の合計を求めなさい。
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ややムズレベル
図のように、正方形のマスをたてに３個、よこに５個並べて長方形を作作ります。この長方形の1本の対角線は、斜線のの７個のマスを通過します。次の各問いに答えなさい。
（１）正方形のマスをたてに７個、よこに11個並べた長方形を作るとき、この長方形の対角線は、何個のマスを通過しますか。
２）正方形のマスをたてに39個、よこに51個並べた長方形を作るとき、この長方形の対角線は、何個のマスを通過しますか。
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下図のＡ～Ｈの８つの□の中に １～８をそれぞれ１つずつ入れ、
矢印の方向に３けたの整数を４個たします。
例えば上右図のように数字を入れると
175＋528＋836＋641＝2180
となります。
次に、また別の入れ方をして計算したところ、
４つの３けたの数字の合計が1725となりました｡
このとき､下図においてＢ、Ｄ、Ｆ、Ｈの４つの数字の合計を求めなさい。
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４つの数字の和をＡ～Ｈを用いて表してみます。
100×A＋10×B＋C
100×C＋10×D＋E
100×E＋10×F＋G
100×G＋10×H＋Ａ
したがって、４つの数字の和は
100×(A＋Ｃ＋Ｅ＋Ｇ)＋10×(B＋Ｄ＋Ｆ＋Ｈ)＋(Ａ＋Ｃ＋Ｅ＋G)
＝101×(A＋C＋Ｅ＋Ｇ)＋１０×(Ｂ＋Ｄ＋Ｆ＋Ｈ)
A＋C＋Ｅ＋Ｇ＝□ 、 Ｂ＋Ｄ＋Ｆ＋Ｈ＝△ とおくお、
１０１×□＋１０×△＝１７２５・・・・・・①
１～８まで全部足すと３６なので、
□＋△＝３６・・・・・・②
①と②より
１０１×□＋１０×（３６－□）＝１７２５
１０１×□－１０×□＝１７２５－３６０＝１３６５
９１×□＝１３６５
□＝１５
△＝Ｂ＋Ｄ＋Ｆ＋Ｈ＝３６－１５＝２１
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星型のとがった角度の合計は何度になりますか？
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠？
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図のように、
C＋E＝P→△赤の外角
B＋D＝Q→△青の外角
A＋B＋C＋D＋E＝A＋P＋Q＝１８０°
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下の図のように、半径が１２ｃｍの扇形と、大きさと形が同じである三角定規２枚を組み合わせた図形を作り、壁にぴったりつけました。半径が１ｃｍの円を、図のＡ のところからＢ のところまで、この図形に沿って、はなれないように転がしたとき、この円の通過した部分の面積を求めなさい。
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円の移動の様子は、左右対称なので、半分にすると
下の図１のようになります。
重要なのは図１の中の図２の部分で、
中心角３０度の扇形となっています。
（円の中心が三角定規の辺の延長上に来るまで回転）
よって、円の通過した部分の面積は、
１×１×３．１４＋２×５×２＋２×２×３．１４×３０/３６０×２
＋（１４×１４－１２×１２）×３．１４×１２０/３６０
＝（１＋２/３＋５２/３）×３．１４＋２０
＝１９×３．１４＋２０＝５９．６６＋２０
＝７９．６６ｃ㎡
となります。
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□に入る数字、△に入る数字（慶應普通部 ２０１０年）
□□／□□に０～９の数字を入れて、月日を表します。たとえば、０２／０１は２月１日を表します。
①0、0、1、2の４つの数字を１回ずつ使ってできる月日は、２月１日以外に何通りありますか。
②0、3、8と△の４つの数字を１回ずつ使うと、△通りの月日が表せます。その月日をすべて書きなさい。△には同じ数字が入ります。
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ア、イ、ウにあてはまる数は？（桜蔭中学 受験算数問題 ２００９年）
どうやって計算する？（栄東中学、東大クラス選抜 ２０１０年算数入試問題）
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111111111111（麻布中学 ２０１１年）
１が１２個ならんだ整数 １１１１１１１１１１１１ の約数について、次の問に答えなさい。
（１）１、１１、１１１、１１１１、１１１１１、１１１１１１、１１１１１１１、
１１１１１１１１、１１１１１１１１１、１１１１１１１１１１、
１１１１１１１１１１１、１１１１１１１１１１１１ のうち、
１１１１１１１１１１１１ の約数をすべて選びなさい。
（２）すべての位の数字が０か１であるような約数のうち、
（１）で選んだ数以外のものを７つ答えなさい。
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図のように、立方体の８つの頂点にボールを入れることができるようにしました。ボールには、①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧ の８種類の数が書かれています。立方体の面に、面を囲む頂点に入れたボールの数の和を書くと図のようになりました。このとき、青い面に書くことのできる数のうち、最も大きい数を答えなさい。
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どう推理しますか？魔方陣の名作問題（学習院中等科 2008年）
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１辺の長さが１６ｃｍの正方形の紙があります。
図１のように、まず点Bが点Aに重なるように折り、次に点Dが点Aに重なるように折ります。そのあと、図２のように、点Aを含まない２辺のそれぞれの真ん中の点を結んだ線で三角形の部分を切りはなします。
（１）残った紙を広げたとき、広げた紙の面積は何ｃ㎡ですか？
次に、紙を広げる前の状態にもどして、下の図のようにもう一度同じ作業を行います。
まず点Eが点Aに重なるように折り、次に点Fが点Aに重なるように折ります。点Aを含まない２辺のそれぞれの真ん中の点を結んだ線で三角形の部分を切りはなします。
（２）２回目の切りはなす作業のあと、残った紙を広げます。広げた紙の面積は何ｃ㎡ですか？
「まず切ってみようか」
「広げてみよう」
「真ん中の正方形の対角線の長さは？」
「８ｃｍだから８×８÷２で面積は３２ｃ㎡、これを全体の正方形から引く」
１６×１６－３２＝２２４ｃ㎡
「これは広げた紙をイメージできたとき」
「できなかったら？」
「図２の黄色い直角二等辺三角形に注目！」
「そうか、１/４の正方形の中にあるから、広げると４つできる」
１６×１６－４×（４×４÷２）
「（２）はこの考え方で解くといね」
「まず切ってみると・・・」
「元にもどしてもると・・・」
「同じように欠けている部分を４倍すると・・・」
（４×４÷２＋４×４÷２）×４＝６４ｃ㎡
「全体から引けばいいね」
１６×１６－６４＝１９２ｃ㎡
｢この方法使えそう・・・」
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切り取られた折り紙の面積（豊島岡女子学園中学 受験算数問題 ２００９年）
折り目と角度（渋谷教育学園渋谷中学 2009年 入試算数問題）
折り紙の問題です（豊島岡女子学園中学 ２００９年算数入試問題）
切り取った部分の面積は？（修道中学 ２００８年算数入試問題）
折り紙を切って広げると・・・（慶應義塾湘南藤沢中等部 ２０１０年）
青山学院中等部でよく出題される折り紙問題（青山学院中等部 2011年）
| 日 | 月 | 火 | 水 | 木 | 金 | 土 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |
| 28 | 29 | 30 | 31 |
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