目次

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2014年7月

2014年7月31日 (木)

三角形に並んでいく数列の考え方

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あるきまりにしたがって、右のように整数を並べていきました。

これについて、次の問いに答えなさい。

(1)19段目の真ん中の整数は何ですか。

(2)200は何段目の左から何番目に並んでいますか。

(3)17段目に並んでいる整数全部の和を求めなさい。

1

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Capture_2014_07_31_12_21_56_910

Capture_2014_07_31_12_22_38_216

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違っているのはどこかな?

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1


↑違っているところを7つ見つけてください↓

2

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こたえ

3

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流水算の応用、速さの比 (吉祥女子中学 2013年)

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川の上流にA町、中流にB町、下流にC町があります。A町からB町までの川の流れの速さは、B町からC町までの川の流れの速さの2倍です。静水上を一定の速さで進む船が、この川のA町とC町の間を往復しています。船がB町からC町へ進む速さと、C町からB町へ進む速さの比は 3 : 2です。次の文の【 ア 】~【 カ 】に当てはまる整数を答えなさい。

Cdm052s

(1)船が静水上を進む速さと、B町からC町までの川の流れの速さの比を最も簡単な整数の比で表すと【 ア 】 : 【 イ 】

(2)船がA町からB町へ進む速さと、B町からA町へ進む速さの比を最も簡単な整数の比で表すと【 ウ 】 : 【 エ 】

(3)A町とB町の間のキョリと、B町とC町の間のキョリが同じとき、船がA町とB町の間を往復するのにかかる時間と、B町とC町の間を往復するのにかかる時間の比を最も簡単な整数の比で表すと【 オ 】 : 【 カ 】

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解法例

(1)船がB町からC町へ進む速さと、C町からB町へ進む速さの比が 3 : 2 です。

船の静水での速さを □、川の流れの速さを ○ とすると、

  □+○ : □-○ = 3 : 2

ということなので、□=2.5、○=0.5 とわかり、

 【 ア 】 : 【 イ 】 = 2.5 : 0.5 = 5 : 1

です。

(2)A町からB町までの川の流れの速さは、

B町からC町までの川の流れの速さの2倍なので、 

船の静水での速さを【5】、

B町からC町までの川の流れの速さを【1】とすると、

A町からB町までの川の流れの速さは【2】です。

よって、

 【 ウ 】 : 【 エ 】=【5】+【2】 : 【5】-【2】=7 : 3

です。

(3)船がB町からC町へ進む速さと、C町からB町へ進む速さの比を表すと、

【5】+【1】 : 【5】-【1】 = 6 : 4 です。 

A町とB町の間のキョリと、B町とC町の間のキョリが同じとき

そのキョリを 1 とすると、

 A町からB町へ移動するのにかかる時間は、1/7

 B町からA町へ移動するのにかかる時間は、1/3

 B町からC町へ移動するのにかかる時間は、1/6

 C町からB町へ移動するのにかかる時間は、1/4

となるので、

 【 オ 】 : 【 カ 】 = 1/7+1/3 : 1/6+1/4

 =10/21 : 5/12

 = 40 : 35 = 8 : 7

です。 

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2014年7月30日 (水)

人数は必ず整数となることを活用する問題

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定員のちょうど27.5%がきちんと座れる電車があります。

この電車に30人の人が乗ると全員が座れますが、

40人の人が乗れば何人かの人が座れなくなります。

この電車の定員を求めなさい。

1

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Capture_2014_07_30_10_58_04_463

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列車の長さは?(1994年算数オリンピック、団体リレー問題より)

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ある列車は、全長82mの鉄橋を渡るのに22秒かかります。

速さを2倍にすると、全長706mの鉄橋を渡るのに50秒かかります。

この列車の長さは何mでしょうか?

Tuka

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こたえ

速さを倍にすると82mの鉄橋を22÷2=11秒で渡ります。

1

706mの鉄橋と比較すると、列車の長さは同じなので、

50-11=39秒は、706-82=624mでついた差になります。

列車の速さは、1秒間に 624÷39=16m です。

11秒では、16×11=176m進むので、

列車の長さは、176-82=94m です。

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宝はどこに埋まってる?(お茶の水女子大学附属中学 2010年)

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果樹園の中に宝をうめました。図5は,宝をうめたあたりの地図です。

一本杉は,寺と神社から等しいきょりにあります。

宝をうめたのは,この3地点を頂点とするひし形の対角線上にあり,

学校からちょうど5kmのところです。

宝がうまっていると考えられる地点を,答案用紙の地図にコンパスと三角定規を使って求め,★印をかき入れなさい。

ただし,コンパスや三角定規を使って引いた線は残しておきなさい。

また,一本杉,寺,神社,学校の位置は,地図中の ・ で示した地点です。

1

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解答例

問題文の通り作図したつもりですが、

宝のうまっていると考えられる場所が2箇所になってしまいました!

2

解答はこれでいいのかどうか???・・・・・・・

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今年の名作問題、台形の組み合わせ(桐朋中学 2014年)

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Pic_3933q_2

上の図1のような台形の形をした2種類のタイルA,B がそれぞれ何枚かずつあります。

これらのタイルを 1cm の辺どうしをぴったりつなげて並べ、

最後のタイルの 1cm の辺が、はじめに並べたタイルの 1cm の辺にぴったりとつながるようにします。

このように並べてできた図形について考えます。

たとえば、下の図2は、A を3枚並べた図形で、下の図3は、A を2枚、B を2枚並べた図形です。

このとき、次の問に答えなさい。

     Pic_3934q

(1)A を2枚、B を6枚並べて図形を作ります。

できた図形の内側の周で囲まれた部分の面積は、図3 の図形の内側の周で囲まれた部分の面積の何倍ですか。

(2)A を4枚、B を2枚並べて図形を作ります。

できた図形の外側の周の長さは何cmですか。

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解答

 (1)A を2枚、B を6枚並べて作る図形は、下の図4のような長方形になります。

 Pic_3935a

台形B は正三角形5個でできているので、上底が2cmです。

よって、A を2枚、B を6枚並べて作ってできる図形の内側の長方形の横の長さは、

2+3+2=7cm で、図3の内側の長方形の横の長さが 2cm なので、

面積は  7÷2=3.5倍 になります。

 

(2)Bの方が枚数が少ないので、Bを基準としてAをつなげていくことを考えます。

下の図5のようにBにAを並べると、その先は下の図6のようになり、

     Pic_3936a

上手くつながりません。そこで、下の図7のようにつなげると、

 Pic_3937a

図7の太線は、平行になります。同じように、BにAをつなげると下の図8のようになり、

 Pic_3938a

図8を2つ合わせると、下の図9の図形ができます。

 Pic_3939a

この図9の図形が、 A を4枚、B を2枚並べてできる図形で、外側の周の長さは、

(3+2+3)×2=16cm  です。

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2014年7月29日 (火)

点の移動と面積の変化をグラフで読む!(浅野中学 2011年)

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下の図1のような台形ABCD があります。BC とAD は平行で、

BC=4cm、AD=10cm、AB=CD です。

点P はこの台形の周上を、Aを出発しBからCを通ってDまで動きます。

点P の速さは、AB間は毎秒1cm、BC間は毎秒2cm、CD間は毎秒5cm です。

下の図2は点PがAを出発してからの時間と三角形ADP の面積の関係を表したグラフです。このとき、次の問に答えなさい。

   Pic_3952q_2

   Pic_3953q

(1)台形ABCD の面積を求めなさい。

(2)図2の(ア)、(イ)に当てはまる数を求めなさい。

(3)三角形ADPの面積が台形ABCD の面積の半分になるのは、点PがAを出発してから何秒後と何秒後ですか。

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解答

(1)グラフより、三角形ABD の面積が 20c㎡ ということがわかります。

下の図3からもわかるように、三角形ABD と三角形BCD は

高さが等しいので、その面積比は、10:4=5:2 です。

   Pic_3954a

よって、三角形BCD の面積は、20×2/5=8c㎡ とわかるので、

台形ABCD の面積は、20+8=28c㎡ です。

 

(2)BC間(4cm)を点Pは毎秒2cmで進むので、2秒かかり、

(ア)~(イ)は2秒間であることがわかります。

AB間 と CD間 の速さの比が 1 : 5 なので、かかる時間は 5 : 1です。

AB間 と CD間 にかかった時間は、8-2=6秒で、これを 5 : 1

にわけると、5秒と1秒になり、

  (ア)=5秒

  (イ)=5+2=7秒

と求められます。

 

(3)台形ABCD の半分の面積は、14c㎡ です。

下の図4のグラフより、14c㎡ になるのが2回あることがわかり、

1_3    

グラフの相似な三角形に注目すると、

1回目は、20:5=4:1=14:□で、

□=14÷4=3.5秒

2回目は、20:(8-7)=20:1=(20-14):△=6:△で、

△=6÷20=0.3秒

7+0.3=7.3秒

とわかり、

 1回目は3.5秒後

 2回目は7.3秒後

です。

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実人数は何割にあたるか?(同志社中学 2010年)

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標準レベル

ある中学校のA組とB組の生徒は、全員が電車、自転車、徒歩のいずれかの方法で通学しています。

A組の生徒の3/8は電車通学、1/2は自転車通学で、徒歩で通学しているのは4人です。

B組の生徒数はA組より12.5%多く、電車通学の人数はA組と同じで、自転車通学の生徒の割合もA組と同じです。

B組の徒歩通学の生徒は何人ですか。

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Capture_2014_07_29_08_40_58_17

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14金と9金を混ぜたら何金?(田園調布学園中等部 2014年)

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金製品の品質を表すのに「○○金」という表示が使われます。

「24金」の製品は100%が金でできています。

例えば「18金」の製品は18/24が金でできているということになります。

「14金」の製品12グラムと「9金」の製品3グラムをとかして混ぜたものを使うと、

「何金」の製品ができますか。

Ilm06_ca07058s

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こたえ

食塩水と同じ考え方でてんびん図を書いてみます。

1

12gと3gは4:1なので、長さは逆比で1:4になります。

9~14までを1+4=5つに分けると、

9/24、10/24、11/24、12/24、13/24、14/24

つりあうのは13のところで、13/24

つまり13金になります。

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白玉は何g?、黒玉は何g?(第9回算数オリンピック、トライアル問題より)

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てんびんの左の皿に黒玉がいくつかのっており、

右の皿にもいくつかの白玉がのっていて、

ちょうど左と右の重さが同じでつりあっています。

黒玉は黒玉ですべて同じ重さで、白玉は白玉ですべて同じ重さです。

今、左の皿から2個の黒玉を右の皿に移し、

右の皿から1個の白玉を左の皿に移し、

同時に左の皿に20gのおもりをのせたらつりあいました。

つぎに、左の皿から1個の黒玉を右へ移し、

右の皿から2個の白玉を左に移し、

同時に右の皿に50gのおもりをのせたらつりあいました。

白玉、黒玉1個の重さはそれぞれ何gですか。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

線分図で考えてみます。

2

操作後につりあうためには、

1回目はAの部分が等しくならなくてはなりません。

また同様に、2回目はBの部分が等しくならなくてはなりません。

1回目より、○○+20g=●●●●……①

2回目より、○○○○=●●+50g……②

①を2倍すると、○○○○+40g=●●●●●●●●

②を代人すると、●●+50g+40g=●●●●●●●●

これにより●は、(50+40)÷(8-2)=15g

これを①に代入すると、○○+20g=60g

これにより○は、(60-20)÷2=20g

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2014年7月28日 (月)

高校野球、2回戦から出場するチーム数は?(金蘭千里中学 2011年)

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夏の甲子園、全国高等学校野球選手権大会は、

49校がトーナメント(勝ち抜き)戦を行います。

2回戦を行う高校が32校のとき、

2回戦から出場する高等学校数は何校でしょうか?

Ilm07_ba21005s

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こたえ

49チームのうち32チームが2回戦を戦うということは、

17チームは1回戦で姿を消したことになります。

姿を消した17チームには対戦相手が17チームいたわけで、

つまり1回戦は、17×2=34チームが出場したことがわかります。

ということは、

2回戦から出場するのは、49-34=15チーム

とわかります。

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2014年7月27日 (日)

体積が一番小さくなるのは?(筑波大学附属中学 2012年)

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下の図は、底面が正方形である直方体の展開図です。

長方形ABCDの面積は420c㎡です。

この立体の体積が最も小さくなるのは、ABが何cmのときですか。

ただし、各辺の長さは整数で、ABの長さはADの長さよりも長いものとします。

1

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底面の正方形の1辺が1cmのとき、AD=1×4=4cm

このとき、AB=420÷4=105cm

底面の正方形の1辺が2cmのとき、AD=2×4=8cm

このとき、AB=420÷8=52.5cmとなり不適当、

底面の正方形の1辺が3cmのとき、AD=3×4=12cm

このとき、AB=420÷12=35cm

底面の正方形の1辺が4cmのとき、AD=4×4=16cm

このとき、AB=420÷16→整数にならないので不適当、

底面の正方形の1辺が5cmのとき、AD=5×4=20cm

このとき、AB=420÷20=21cm

底面の正方形の1辺が6cm以上はAB<ADとなり不適当、

底面の正方形の1辺が1cmのとき、体積は 1×1×105=105立方cm

底面の正方形の1辺が3cmのとき、体積は 3×3×35=315立方cm

底面の正方形の1辺が5cmのとき、体積は 5×5×21=525立方cm

以上より、AB=105cm

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和差算の線分図を使った解き方

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長さ2mの針金を折り曲げて、三角形を作るとき次の問いに答えなさい。
(1)辺の長さはア>ウ>イ、アとウの差は18cm、ウとイの差は6cmになるようにします。このとき、アの長さは何cmになりますか。

(2)上の(1)で作った三角形ABCで、辺AB上に点PをとってCとPをまっすぐな針金で結びます。三角形CBPと三角形CAPのまわりの長さを等しくなるようにするには点PをAから何cmのところにとればよいですか。

1_2

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Capture_2014_07_27_07_40_47_875

Capture_2014_07_27_07_45_30_500

Capture_2014_07_27_07_44_54_93

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2014年7月26日 (土)

直方体の個数はいくつ?(神奈川学園中学 2014年)

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縦3cm、横4cm、高さ6cmの直方体をすき間なく組み合わせて、

最も小さな立方体をつくるとき、必要な直方体の個数はいくつでしょうか?

Stnd022s

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立方体の1辺の長さは、小さい順に

6cm、7cm、9cm、10cm、12cm・・・・ が考えられますが、

その体積は、

6cm→216立法cm

7cm→343立法cm

9cm→729立法cm

10cm→1000立法cm

12cm→1728立法cm

このうち、3×4×6=72立方cmで割り切れるのは、6cmと12cmの場合ですが、

6cmの場合216÷72=3個 では立方体になりません。

12cmの場合、1728÷72=24個で、

下の図のように立方体ができます。

Capture_2014_07_26_11_29_55_812

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今年出題された相当算(早稲田実業学校中等部 2014年)

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A君はおこづかいを持って買い物に出かけました。

最初に持っていたおこづかいの1/4を使って洋服を買い、

800円の昼ご飯を食べて、残っていたお金の3/7を使って本を買ったところ、

最初に持っていたおこづかいの1/3が残りました。

最初に持っていたおこづかいはいくらですか。

Hpsa1101cs

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線分図にしてみましょう。

1_2

お昼を食べた後に残ったお金の4/7が、全体の1/3に相当することがわかります。

では、3/7は全体のいくつに相当するのか比例で考えると、

4/7:1/3=3/7:□

□=1/3×3/7÷4/7=1/4

全体を1とすると、

1-(1/4+1/4+1/3)=1/6 が800円に相当します。

なので、全体の1、つまり最初に持っていたおこずかいは、

800×6=4800円 になります。

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直角二等辺三角形の面積は?(2006年算数オリンピック、ファイナルより)

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下の図において、点Eは正方形ABCDの辺CD上の点です。

また、三角形BEFは角BEF=90°の直角二等辺三角形で、

辺BFと辺ADが交わっている点をGとします。

AG=5cm、GD=15cmのとき、

直角二等辺三角形BEFの面積は何c㎡ですか。

1

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----------------------------------------------------

図のように、直角二等辺三角形BEFと合同な△緑を描き、

正方形FHBEを作ります。

さらに、この正方形を△EBCと合同な△黄4つで囲んで、

正方形JKCIを作り、BAの延長が辺JIと交わる点をLとします。

2

JF=LI=BC=20cmなので、

LF=①とすると、JI=JF+LI-LF=40cm-①

次に、△ABGと△LBFは相似で、

AB:AG=20:5=4:1なので、LB:LF=④:①

つまり、大きな正方形の1辺は④=40cm-① となり、

40cm=⑤ で、①=8cm、④=32cm

すると、JL=KB=20cm-8cm=12cm になり、

△黄の面積=20×12÷2=120c㎡

直角二等辺三角形BEFの面積=(32×32-120×4)÷2=272c㎡

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2014年7月25日 (金)

回転体の体積は?(春日部共栄中学 2014年 改題)

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直角三角形ABCを、

直線(ア)を軸として1回転させたときにできる立体の体積を求めなさい。

1_2

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回転させると図のようになります。

Capture_2014_07_25_10_10_04_109

下の三角錐は立体で埋まっていますが、

上の三角錐はくぼんでいるので、その分円柱から引いて体積を求めます。

3×3×3.14×4-3×3×3.14×3×1/3

=(3×3×4-3×3)×3.14

=27×3.14

=84.78立方cm

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この数の関係を推理して!(大阪桐蔭中学 2010年)

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0でない5つの数A,B,C,D,E は、すべて異なる1ケタの整数で、

それらの間に、次の①~④の関係があります。

 ① A÷B=B

 ② C×D=D

 ③ A-C=D

 ④ B×D=E

このとき、5つの数A,B,C,D,E はそれぞれいくつですか?

Bo4_2

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①が成り立つのは、

    9÷3=3 、 4÷2=2

のどちらかです。A=9または4 、 B=3または2

②が成り立つのは、C=1 のときだけです。

③で、C=1なので、①より、D=8または3 です。

④で、①、②より、

B×D=24 または 6 で、E は1ケタなので6に決まり、

A,B,C,D,E は、

A=4、B=2、C=1、D=3、E=6

です。

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方陣算の解き方

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ご石を正方形の形に並べたら、

まわりのご石の数は48個になりました。

正方形の1辺には何個のご石がありますか?

1_3

Capture_2014_07_25_08_56_22_611

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----------------------------------------------------

Capture_2014_07_25_08_57_16_291

Capture_2014_07_25_08_58_42_902

Capture_2014_07_25_08_59_03_947

Capture_2014_07_25_08_59_21_200

Capture_2014_07_25_08_59_54_709

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2014年7月24日 (木)

1の目が上にならない転がし方は?(1999年ジュニア算数オリンピック、ファイナルより)

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下の図でスタートからゴールまでサイコロを転がしていきます。

スタートの位置では1の目を上にして、

そのあとは一度も1の目が上にならないようにゴールする転がし方を

点線に沿って書き入れてください。

ただし、同じところを2度通ったり、遠回りしをしてはいけません。

(1マスはサイコロ1つ分の大きさです)

Sai

1

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4回回転させると1が上になるので、

1を横にして回転させる行程を多くします。

図のような進み方だと1が上にならずにゴールできます。

2

Girl200

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公約数のみつけ方

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121を割ると1余り、

77を割ると5余るような整数のうち

最も小さい数を求めなさい。

Cocolog_oekaki_2012_08_24_09_41

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Capture_2014_07_24_10_37_13_631

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両替をしてください!(恵泉女学園中学 2014年 改題)

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A国とB国にはそれぞれ金貨と銀貨と銅貨があります。

それぞれの国では、次のように両替できます。

[A国]  金貨1枚=銀貨4枚 銀貨1枚=銅貨5枚

[B国]  金貨1枚=銀貨6枚 銀貨1枚=銅貨7枚

また、A国の銅貨3枚でB国の銅貨2枚に両替できます。

Ilm06_cb02020s

いま、A国の金貨を13枚、銀貨を3枚、銅貨を4枚持っています。

これらのお金をできるだけ多く、

また、枚数の合計が少なくなるように、B国のお金に両替するとき、

B国の金貨、銀貨、銅貨はそれぞれ何枚になりますか。

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A金13×4=A銀52

A銀52+A銀3=A銀55

A銀55×5=A銅275

A銅275+A銅4=A銅279

A銅279×2/3=B銅186

B銅186÷7=B銀26 あまり B銅4

B銀26÷6=B金4 あまり B銀2

以上より、B国の金貨4枚 銀貨2枚 銅貨4枚

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これ、シンプルな良問です!(甲陽学院中学 2010年)

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下の図のような、

ABの長さが12cm、ADの長さが48cmの長方形の紙ABCDを、

頂点Bと頂点Dが重なるように折り、元通り開きました。

折り目の線をEF とするとき、四角形BFDEの面積を求めなさい。

Pic_3949q

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BD と EF は直角に交わるので、下の図1の4つの三角形はすべて合同で、

三角形ABD と相似です。

Pic_3950a

図1をふまえて、E からBCに垂線を下ろし、交点をG とすると、

下の図2のようになり、

Pic_3951a

三角形ABD と三角形GFE は相似になります。

(角A=角EGF=90°、角ABD=角GFE)

よって、GF : GE = 12 : 48 = 1 : 4 なので、

GE=12cm より、GF=3cm とわかります。

AE=CF=(48-3)÷2=22.5cm とわかり、

三角形BFDE の面積は、

 (48-22.5)×12=306c㎡

です。

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2014年7月23日 (水)

2回出てくる和はどれ?(2011年算数オリンピック、ファイナルより)

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5つの整数があります。

この5個の中から3個の整数を選んで和を計算します。

この和を小さい順に並べると、

35、46、47、48、49、51、60、62、63 となりました。

3つの整数の組み合わせは全部で10通りなので、

1つの和だけは2回出てくることになりますが、それはどれでしょうか?

Pce022s

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5つの整数を、A、B、C、D、Eとすると、

10通りの和には、3×10=30個の整数が含まれているので、

各整数は、30÷5=6回ずつ足されていることになります。

A×6+B×6+C×6+D×6+E×6=(A+B+C+D+E)×6

となるので、10通り全部の和は6の倍数です。

35+46+47+48+49+51+60+62+63=461

461は6で割ると5余るので、

残りの整数は6で割ると1余る数、49だとわかります。

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グラフを描いて解く、速さ問題(灘中学 2013年)

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A君とB君はP地点を同時に出発し、P地点から42kmはなれたQ地点に向かいました。

A君は一定の速さで進みました。

また、B君はP地点から28kmはなれたM地点まで一定の速さで進んだのち、20分間休み、

M地点から先はそれまでの 3分の1倍の速さで進みました。

B君がM地点を出発して1時間21分後、A君はB君を追い抜き、

その後、A君はB君より20分早くQ地点に着きました。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)B君がM地点に着いたとき、A君はB君の後方何km の地点にいましたか。

(2)A君はP地点を出発して何時間何分後にQ地点に着きましたか。

720

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(1)A君とB君の移動の様子を下の図1のようにグラフにすると

Pic_3946a_2

B君のグラフを20分ずらすと、

A君とB君は同じ時間にQ地点に着くことがわかります。

B君がM地点からQ地点へ向かう速さを【1】とすると

P地点からM地点までは【3】です。

B君がP地点からQ地点まで、14kmごとにかかる時間を考えます。

P地点から14kmを<1>とすると、14kmからM地点も<1>

M地点からQ地点までは<3>という時間がかかります。

一方、A君は同じ速さで進んでいて、A君がP地点からQ地点に

着くまでの時間は<5>で、

B君がM地点に着いたときは<2>の時間が経過しているので、

A君が進んだキョリは、

42×2/5=16.8km

とわかり、A君はB君の、28-16.8=11.2km 後方にいた

ということになります。

(2)A君の速さについて考えると、

B君が28km進む間にA君は16.8km進んでいるので、A君の速さは、

 【3】 × 16.8/28 = 【1.8】

とわかります。

A君の速さと、B君がM地点からQ地点へ進むときの速さの比は

 【1.8】 : 【1】 = 9 : 5

なので、同じキョリを進むのにかかる時間の比は、

逆比になって 5 : 9 となります。

A君がB君に追いつく場所をR地点とすると、下の図2のように

 A君がM地点からR地点までにかかる時間は⑤

 B君がM地点からR地点までにかかる時間は⑨

となります。

Pic_3947a

⑨=81分 なので、 ⑤=45分 になります。

すると、下の図3のように、A君は11.2km を56分で移動したことがわかるので、

Pic_3948a_2

A君がP地点を出発してからQ地点に着くまでにかかる時間は

 11.2  :  56分 = 42  :  □

より、

 □=56×42÷11.2=210分=3時間30分

と求められます。

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色の着いた立方体の数え方(女子学院中学 2011年)

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同じ大きさの立方体23個を図のように積み上げ,床についている面を除いた表面をすべて緑色のペンキで塗りました。次の立方体はそれぞれいくつありますか。

2221

①3つの面が緑色で塗られている立方体は

②2つの面が緑色で塗られている立方体は

③1つの面が緑色で塗られている立方体は

④どの面も緑色で塗られていない立方体は

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Capture_2014_07_23_07_22_32_466

Capture_2014_07_23_07_22_53_246

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場合の数を考えていく順序は?

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図のように,A町とB町,B町とC町の間には,それぞれ2本,3本の道路があります。P,Q2人がA町を出発してB町を通り,C町へ行くのに、2人がべつべつの道を通ることにすると、2人の行き方の組み合わせは全部で何通りありますか。

Zu2

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Capture_2014_07_23_06_11_31_629

Capture_2014_07_23_06_12_06_402

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2014年7月22日 (火)

三角形は五角形の何倍?(東京都市大学付属中学 2014年)

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下の図は、

正三角形ABGと正六角形BCDEFGを合わせて作った五角形ACDEFです。

AD、AEがBGと交わる点をそれぞれH、Iとするとき、

三角形DIHの面積は、五角形ACDEFの面積の何倍ですか。

1_2

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図のように赤い正三角形をたして見てみると、

2

AD、AEは大きな正三角形の底辺を3等分しています。

したがって、H、IはBGを3等分している点になるので、

△水色、△黄、△緑は底辺も高さも等しく、面積も等しくなります。

正三角形ABGの面積を1とすると、

△黄=1×2×1/3=2/3

五角形ACDEF=7 なので、

△DIHの面積は五角形ACDEFの面積の

2/3÷7=2/21 倍です。

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「ままこだて」と呼ばれる周期性問題の解き方

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図のように,整数を1から順に63まで円形にならべ,

1から始めて,1つおきに1,3,5,…,63,4,…と取り除いていき,

最後に1つの数が残るまで続けます。

(1)10は何番目に取り除きますか。

(2)最後に残る数は何ですか。

Mamakodate

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Bandicam_20140722_070528734

Bandicam_20140722_070539234

Bandicam_20140722_070550062_2

Bandicam_20140722_070605609

Bandicam_20140722_070613312

Bandicam_20140722_070621062

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2014年7月21日 (月)

3つの正方形が重なった部分面積比(白百合学園中学 2014年)

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下の図は3つの正方形を重ねたもので、点Eは辺ADのまん中の点です。

アの部分の面積が、イの部分の面積の1/3であるとき、

ウの部分の面積は、正方形ABCDの何分のいくつですか。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

2

EGが正方形の対角線なので、

赤い四角形は正方形になります。

ア=△赤 、イ=△黄 なので、

面積比が△黄:△赤=3:1 より底辺が同じなので、高さ比も3:1

△黄と△緑は相似で高さ比は3:1 より、面積比は3×3:1×1=9:1

△緑:(△黄+△赤)=1:(9+3)=1:12

△黄+△赤が正方形ABCDの1/8なので、

△緑は正方形ABCDの1/12×1/8=1/96

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2014年7月20日 (日)

使い方をマスターしたいてんびん図(洗足学園中学 2011年)

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4%の食塩水10gに6%と10%の食塩水を加えて,

7%の食塩水を100g作りました。

このとき,6%の食塩水は何g加えましたか。

なお,この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。

0 0


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こたえ

7%の食塩水が100gできたので、

4%の食塩水に加えた食塩水は90gです。

これをてんびん図で表すと下図のようになります。

1

重さの比は1:9ですから、てんびんの長さの比は逆比になって、

9:1

4%から7%までを9つ分割すると、1目盛りは1/3%です。

加えた食塩水は7と1/3%であったことがわかります。

6%の食塩水と10%の食塩水を加えて、

7と1/3%の食塩水90gを作ったと考えると、

てんびん図では下図のようになります。

2

1目盛りを1/3%ととして考えると、

てんびんの長さ比は4:8=1:2 です。

重さの比は逆比になり、2:1なので、

6%の食塩水は、90g×2/(2+1)=60g になります。

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○は何g? □は何g?(2012年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

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○、□の2種類の重さの異なるおもりが何個がずつあり、

その重さは1、2、3、4、5、6、7、8、9gのいずれかです。

同じ種類のおもりの重さは等しいのですが、

はかりにのせたら図のようになりました。

1_2


○、□の2種類の重さはそれぞれ何gでしょうか?

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図からわかることを式にしてみましょう。

3×○>5×□・・・・・・①

9×□>5×○・・・・・・②

①×5、②×3 としてみると、

15×○>25×□・・・・・・③

27×□>15×○・・・・・・④

③と④から

27×□>15×○>25×□・・・・・・⑤ となり、

○=1g のとき、□が2~9gで⑤は成り立たず、

○=2g のとき、□が1gと3~9gで⑤は成り立たず、

○=3g のとき、□が1~2gと4~9gで⑤は成り立たず、

○=4g のとき、□が1~3gと5~9gで⑤は成り立たず、

○=5g のとき、□が1~4gと6~9gで⑤は成り立たず、

○=6g のとき、□が1~5gと7~9gで⑤は成り立たず、

○=7g のときだけ、□が4gで、108g>105g>100gと⑤が成り立ち、

○=8g のとき、□が1~7gと9gで⑤は成り立たず、

○=9g のとき、□が1~8gで⑤は成り立たず、

○=7g、□=4g となります。

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同じ形で2等分して!(東海中学 類題)

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図のような12個の同じ大きさの正方形でできた図形があります。

同じ形で2等分したいのですが、

図の「例」以外に5通りあげてみてください!

↓例

1

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2

3

4

5

6

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月曜と金曜が4回ある月 (市川中学 2014年)

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ある年の1月には、月曜日と金曜日が、ともに4回ずつあります。

この年の1月20日は何曜日ですか。

Ilm03_aa08014s_2

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1月は 31日まであります。

下の図1のように、カレンダーを描くと、

月に4回あるのは、4,5,6,7日が始まりのところです。

   Pic_3940a

図1の 4日のところに【月曜日】をあてはめると、

【金曜日】は、1日のところに来てしまい、5回になってしまいます。

そこで、下の図1のように、4日のところに【金曜日】をあてはめると、

   Pic_3941a

金曜日も月曜日も4回になり、これ以外の場合はありえません。

よって、この年の1月20日は、日曜日です。

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2014年7月18日 (金)

立体の表面積は(栄光学園中学 2011年)

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ややムズレベル

厚さが1cmの4つの円盤①,②,③,④があります。それぞれの円盤の半径は,①が1cm,②が2cm,③が3cm,④が4cmです。これらの円盤を重ねて立体を作ります。ただし,重なっている部分が円になるようにします。図1のように重ねてはいけません。また,円周率は3.14とします。

(1)図2のように重ねたときの立体の表面積を求めなさい。

(2)立体の表面積がもっとも大きくなるような積み方を,例にならって1つあげなさい。

(例)図2の場合:〔①,②,③,④〕

(3)(2)のときの立体の表面積を求めなさい。

928

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Capture_2014_07_18_10_29_55_876

Capture_2014_07_18_10_30_11_928

Capture_2014_07_18_10_30_35_63

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ABCDにあてはまる数は?(2012年ジュニア算数オリンピック、トライアルから)

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次の式を成り立たせるような4けたの整数ABCDを求めてください。

ただし、A、B、C、Dはすべて異なるとは限りません。

2012+ABC=ABCD

Apf0507s

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----------------------------------------------------

ABC×10=ABC0なので、

2012=ABC×9+D と表せます。

2012÷9=223あまり5なので、

ABCD=2235とわかります。

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面積の合計は?(江戸川女子中学 2014年)

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図のように、合同な直角二等辺三角形が4つ、一直線上に並んでいます。

両端の直角二等辺三角形の頂点を結んだとき、

斜線部分の面積の合計は何c㎡になりますか?

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

赤い直角三角形は底辺:高さ=4:1 なので、

高さア、イ、ウをこの相似比を使って求めます。

2

ア=6×3×1/4=4.5cm

イ=6×2×1/4=3cm

ウ=6×1/4=1.5cm

三角形A、B、Cも相似でAの底辺=ア=4.5cm、高さ=6cm なので、

b=3×6/4.5=4cm

c=1.5×6/4.5=2cm

A+B+C=(4.5×6+3×4+1.5×2)÷2=21c㎡

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ぬり分け方の場合の数は? (甲南中学 2010年)

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下の図のように、円の中に三角形があり、アからエの4つの部分に分けられています。

これらの4つの部分を赤、青、黄の3色のクレヨンを用いて、同じ色がとなりあわないように、ぬり分けます。

このとき、次の問に答えなさい。イ、ウ、エはそれぞれ大きさが異なるものとします。

     Pic_3932q

(1)3色の中から2色を使ってぬり分けると、何通りのぬり方がありますか。

(2)3色すべての色を使ってぬり分けると、何通りのぬり方がありますか。

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(1)三角形のアの部分は、

イ、ウ、エ のすべてととなりあっているので、2色、たとえば赤と青を選んだ場合は、

赤でア、青でその他 または、青でア、赤でその他の2通りのぬり方になります。

3色から2色を選ぶ選び方は、3通り あるので、

ぬり方は、3×2=6通り です。

 

(2)色のぬり分け方は、

ア、イ、(ウ=エ)・・・・・・①の場合、

ア、(イ=ウ)、エ・・・・・・②の場合、

ア、(イ=エ)、ウ・・・・・・③の場合

の3通りとすると、

①の場合のとき、赤、青、黄 でのぬり方は、

 3×2×1=6通りあり、

②の場合、③の場合も同様なので、

ぬり方は合計すると

 6×3=18通り

となります。

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斜めに切った円柱や角柱の体積を求める方法

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斜めに切った円柱や角柱の体積を求めるには、

どうすればいいでしょうか?


1_4

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同じ立体を上に重ねて考えます。

Capture_2014_07_18_06_54_38_468

直方体も

Capture_2014_07_18_06_56_19_897

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2014年7月17日 (木)

時間と距離を図解して解く方法

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A君がオートバイに乗って山に向かっています。山に向かってクラクションをならすと12秒後にこだまが聞こえてきました。それから10秒後に再びならすと、今度は8秒後にこだまが聞こえてきました。音の速さを毎秒340mとするとオートバイは山に向かって時速何kmで走っていますか。

Csmr007s

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Capture_2014_07_17_11_31_28_839

Capture_2014_07_17_11_31_45_959

Capture_2014_07_17_11_32_02_97

Capture_2014_07_17_11_32_32_142

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真ん中の四角形の面積は?(第10回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

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ACとDFは平行です。AC、DF上にそれぞれB、Eをとります。

AEとBDが交わる点をG、CEとBFの交わる点をHとします。

今、HCがEHの1.5倍の長さで、三角形ADGの面積が10c㎡、

三角形CEFの面積が20c㎡のとき、四角形BGEHの面積を求めなさい。

1_2

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----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

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2_2

△赤と△青の面積比は1.5:1=3:2 なので、

△赤=20×3/(3+2)=12c㎡

ACとDFが平行なので、△(赤+青)=△(ピンク+青)

△青が共通なので、△赤=△ピンク=12c㎡

同様に△黄=△水色=10c㎡

四角形BGEH=12+10=22c㎡

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面積は?(早稲田中学 改題)

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図のような長方形の中の黄色部分の面積を求めてください。

1

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図のように、長方形の半分からアとイの三角形を引けばいいのですが、

2

2つの赤三角形は相似で相似比が5:3、

2つの緑三角形も相似で相似比は4:1、

ア=3×16×3/8÷2=9c㎡

イ=4×5×1/5÷2=2c㎡

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黄=16×5÷2-(9+2)=29c㎡

親の歩数と子供の歩数(白陵中学 2009年)

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ある親子がいっしょに歩くとき、5m あたり 2.7秒かかって、親が6歩で歩くのに対して、子供は8歩で歩きます。親子が別々に歩くとき、親は5mあたりの速さも歩数も子供と歩くときと変わりませんが、子供は 3.7秒かかって10歩で歩きます。この親子が家から公園までの半分のキョリをいっしょに歩き、残り半分を別々に歩いて公園に着いたとき、子供の歩数は親の歩数よりも 78歩多かったです。このとき、次の問に答えなさい。

Ilm08_ba07001s


(1)家から公園までのキョリは、何 m ですか。

(2)子供が家から公園まで歩くのにかかった時間は何秒ですか。

----------------------------------------------------

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(1)家から公園までを【前半】と【後半】に分けると、

【前半】では、親と子の歩数の差は、5mにつき2歩ずつ

【後半】では、親と子の歩数の差は、5mにつき4歩ずつ

となるので、

【前半】でできた歩数の差 : 【後半】でできた歩数の差=1:2

という比になります。

 

歩数の差の 78歩を1:2 に分けると、26歩 と 52歩 で、

【前半】のキョリ=5×(26÷2)=65m とわかり、

家から公園までのキョリは、65×2=130m です。

(2)【前半】は5mあたり2.7秒、

【後半】は5mあたり3.7秒の時間がかかるので、

子供が家から公園に行くまでにかかった時間は、

13×2.7+13×3.7=13×6.4=83.2秒

です。

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2014年7月16日 (水)

箱の底面積は?(浦和明の星女子中学 2007年 改題)

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図のような1辺が27cmの正方形の紙から黒い部分を切り取って、

黄色い正方形が底、4隅の三角形が上ぶたになるような、

直方体の箱を作ろうと思います。

箱の高さは黄色い正方形の1辺の長さの半分です。

黄色い部分の面積は何c㎡になるでしょうか?

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

図のように区切ってみると、

全体が黒い直角二等辺三角形36個でできていることがわかります。

3

黄色部分は8個なので、全体の8/36=2/9

したがって、その面積は 27×27×2/9=162c㎡ になります。

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今年出題された食塩水問題(武蔵中学 2014年)

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5%の食塩水100gに、3%の食塩水と8%の食塩水を加えて

7%の食塩水600gを作りました。

加えた3%の食塩水と8%の食塩水の重さはそれぞれ何gでしたか。

Sst055s

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----------------------------------------------------

加えた食塩水は3%と8%とを合わせて600-100=500gです。

重さの比は、500:100=5:1なので、てんびん図で表すと、

1

長さの比は逆比で1:5なので、

加えた500gの濃度は(7-5)÷5×1+7=7.4% だったことになります。

3%と8%の食塩水を混ぜて7.4%の食塩水500gができたと考えれば、

2

図のように、長さの比が、

(8-7.4):(7.4-3)=0.6:4.4=3:22 なので、

8%と3%の重さの比は22:3

8%の食塩水の重さ=500×22/(22+3)=440g

3%の食塩水の重さ=500×3/(22+3)=60g

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2014年7月15日 (火)

最大と最小の差はいくつ?(第3回算数オリンピック)

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4つの分数、

12/25、11/24、19/39、11/29 があります。

このうち最大の分数と最小の分数の差はいくつでしょうか?

Apf0107s_2

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----------------------------------------------------

12/25、11/24、19/39は分子が分母の半分未満の最大の整数なので、

1/2にかなり近いことがわかります。

それに対し、11/29は分母に対し分子がさらに小さいので、最小の分数です。

最初の3つの分数を1/2と比較してみます。

1/2-12/25=12.5/25-12/25=0.5/25

1/2-11/24=12/24-11/24=1/24=0.5/12

1/2-19/39=19.5/39-19/39=0.5/39

1/2との差が一番小さい19/39が最大の分数とわかります。

したがって、(最大-最小)は

19/39-11/29=122/1131

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正方形内の円(開智中学 2010年)

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1辺が10cmの正方形に、円がぴったり入っています。またその円に正方形がぴったり入っていて、さらにその小さい正方形に円がぴったり入っているとすると、斜線部分の面積は、何c㎡ですか。
ただし、円周率は3.14とします。

406

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Bandicam_20140715_092356671

Bandicam_20140715_092418703

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平行四辺形の部分面積は?

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平行四辺形の中の1点と各頂点を結んだら、

面積が図のようになりました。

黄色部分の面積は何c㎡でしょうか?

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

図のように区切ってみると、面積の等しい三角形の組が4つできます。

2

(A+D)+(B+C)-(A+B)=(D+C)

となるので、

黄色部分=8+11-13=6c㎡ となります。

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2014年7月14日 (月)

三角形の相似を利用して解く旅人算!

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兄は家から3.6km離れた町まで1時間で歩きました。弟は兄より25分おくれて自転車で家を出発し、途中で兄を追い抜き町に20分で着きました。追い抜いた地点の家からの距離と時間を求めなさい。

Ilm23_hb03011s

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1

2

3

4

5

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正三角形をしきつめた平面幾何 (麻布中学 2014年)

下の図は、平面を同じ大きさの正三角形でしきつめたものです。また、下の図で表されるような位置に、点O,点X,点Y,直線XY があります。

Pic_3912q

点Y を中心にして、直線XY を反時計回りに 60度回転させたとき、点X が移る先の点を Z とします。

(1)点 Z を図1に黒丸で書き入れなさい。また、書き入れた黒丸の近くに Z と書きなさい。

(2)角XOZ の大きさを答えなさい。

 

次に、下の図2のような正六角形ABCDEF の形をした紙を考え、直線BD と直線CF の交点を I とします。点A と点 I が重なるようにこの紙を折り、元にもどします。すると、折り目は2つの辺 EF,AB と交わりました。このとき、折り目と辺EF との交点をP,辺AB との交点をQ とするとき、次の問に答えなさい。

   Pic_3913q

(3)EP と PF の長さの比、およびAQ とQB の長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

(4)四角形AQPF の面積は、正六角形ABCDEF の面積の何倍になりますか。分数で答えなさい。

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----------------------------------------------------

(1)いきなり点X を回転させるのは難しいので、次のように考えましょう。

下の図3のように、点Y から点X へ、直線XY ではなく、

正三角形の線を通って向かう青線と赤線を考えます。

青線は正三角形の辺4本分、赤線は2本分です。

Pic_3914a

次に、下の図4のように、まず青線を60°回転させます。

Pic_3915a

下の図5のように、青線と赤線は120°をなしているので、

青線の先(W)から120°の角度で赤線を引けば、そこが点Z の位置になります。

Pic_3916a

三角形YVX と三角形YWZ が合同で、線VYが60°回転しているで、

線XY も60°回転して点Z の位置になります。

(2)下の図6のように、点X から点Z までを青線と赤線で結ぶことができ、

Pic_3917a

三角形YVX,YWZ,ZUX は合同なので、

XY=YZ=ZX とわかり、三角形XYZ は正三角形です。

点O はXY のまん中の点なので、

正三角形の頂点(Z)から底辺の真ん中の点へ線を引いたときにできる角XOZ は

90°(直角)となります。

(3)正六角形を図1に書きこむと、下の図7のようになります。

Pic_3918a

ちょうど、点A,I は、図1の点Y,X になります。

そして、点A を点 I と重なるように折ったときの折り目は、

直線A I と垂直に交わる線で、図6の点O,Z を結んだ線と同じになるので、

図6に書き込むと、下の図8のようになります。

Pic_3919a_2

点P はEF のまん中の点なので、EP : PF = 1 : 1 です。

次に、下の図9のように

Pic_3920a_2

三角形OQR と三角形OTS は合同で、

さらに三角形OPG と相似で、相似比が 1 : 2 なので、

QR の長さは、正三角形の1辺の長さの半分とわかり、

AQ : QB = 7 : 1 です。

(4)正六角形ABCDEF は、正三角形96個分の面積です。

四角形AQPF は、(3)より、三角形OQR と三角形OTS が合同なので、

面積を移すことができます。

また、下の図10で点T がSHのまん中の点なので、

三角形PTH の面積は、平行四辺形PGSH の面積の 4分の1 となります。

Pic_3921a

平行四辺形PGSH は正三角形4個分の面積なので、

三角形PTH の面積は、正三角形1個分の面積とわかります。

よって、四角形AQPF の面積は、

 平行四辺形ARSF(正三角形24個分)

 三角形PHF(正三角形4個分)

 三角形PTH(正三角形1個分)

でできているので、

正三角形29個分ということがわかります。

ゆえに、四角形AQPF の面積は、正六角形ABCDEF の面積の

  29/96倍

です。

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2014年7月13日 (日)

線分図を使い、比をそろえて解く技

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さとる君と道子さんがいただいたお年玉の金額の割合は4:3でしたが、2人の使った金額の割合が9:7でしたので、さとる君は1300円、道子さんは900円残りました。さとる君のいただいたお年玉は何円でしたか。

1_2

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Capture_2014_07_13_13_52_24_147

Capture_2014_07_13_13_52_59_33

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円の個数の差は?(東大寺学園中学 2005年)

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標準レベル

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どうやって計算する?(栄東中学、東大クラス選抜 2010年)

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ややムズレベル

連立方程式みたいな面白い問題ですが、どう工夫しますか?

2つの数の積について、A~Eの5つの式が成り立ちます。

このとき★に入る数を求めなさい。

ただし、同じ記号には同じ数が入ります。

Capture_2014_07_13_12_49_33_872

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Capture_2014_07_13_12_47_46_541

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何分かかるか?(1994年算数オリンピック、決勝問題から)

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図のような道路があります。

1

AからBまで行く際、太い道A→D→Bを歩いて行くと35分かかり、また車に乗って細い道A→C→D→E→Bを行くと22.5分かかります。

細い道D→E→Bの距離は、太い道D→Bの距離の3倍です。また、細い道A→C→Dの距離は、太い道A→Dの距離の5倍です。車の速さは、歩く速さの6倍であることが分かっています。

それでは、まず太い道A→Dを歩き、それから細い道D→E→Bを車で行くとすると、Aを出発してBに到着するまでにかかる時間は何分ですか?

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2

太い道A→D→Bの距離を35、太い道A→Dの距離をx(=□)とすると、

細い道A→C→Dの距離は5×□

細い道D→E→Bの距離は3×(35-□)

歩く速さを毎分1、車の速さを毎分6 とすると、

細い道A→C→D→E→B の車での所要時間は

{5×□+3×(35-□)}÷6=22.5分 なので、

□=15

よって、太い道A→Dを歩く所要時間は

15÷1=15分

細い道D→E→Bの車での所要時間は

3×(35-15)÷6=10分

求める時間は 15+10=25分

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量ることができない重さは?(茨城中学 2014年)

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1g,2g,4gのおもりが3個ずつ合計9個あります。

この中からおもりを1個または2個、または3個選んだとき、

1gから12gのあいだの重さで,量ることのできない重さは何gでしょうか?

Ilm03_bf01054s

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1=1

2=2

3=1+2

4=4=2+2=1+2+1

5=1+2+2=1+4

6=2+2+2=2+4

7=1+2+4

8=4+4=4+2+2

9=4+4+1

10=4+4+2

11=×

12=4+4+4

よって、11gが量れません。

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かけっこの差は何m?(暁星国際中学校  2012年)

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あきお君とたけし君とよしお君の3人が600m競争をしました。

あきお君が1分36秒でゴールに入ったとき、たけし君はゴールまであと24mのところを走っていました。

また、よしお君がゴールに入ったのは、たけし君がゴールに入ってから2.4秒後でした。

あきお君がゴールに入ったとき、よしお君はゴールまで何mのところを走っていましたか。

Ilm03_bb01006s

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たけし君は1分36秒=96秒で、600-24=576m走るので、

1秒間に576÷96=6m走ります。

24mは、24÷6=4秒かかるので、ゴールしたのは96+4=100秒後、

よしお君は、その2.4秒後なので、102.4秒でゴールしました。

あきお君との差は、102.4-96=6.4秒、

よしお君が6.4秒で走るキョリは、

600m×6.4/102.4=600×1/16=37.5m です。

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2014年7月12日 (土)

0.57は木の葉形の面積として覚える数字!

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中学入試でよく出題される、

図のような正方形の中の木の葉形部分の面積ですが、

正方形の1辺を1、円周率を3.14とすると、答えは0.57になります。

この数字覚えておくと便利です。

1

木の葉形には姿を変えた仲間たちがたくさんいます。

みんな同じ面積なので、0.57がとても重要になってくるわけです。

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Bandicam_20140712_124346281

Bandicam_20140712_124416312

Bandicam_20140712_124506218

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重なった円の部分面積は?(立教中学 類題)

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半径3cmの円が4つ、図のように重なっています。

緑部分の面積の合計は何c㎡でしょうか?

1

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2

水色部分を黄色に移動すると、

中心角240°のおうぎ形2つ分になります。

したがって、

3×3×3.14×240/360×2=37.68c㎡

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速さからキョリを求める問題(横浜共立学園中学 2013年)

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A地点とB地点の2つの地点があり、自動車PはA地点からB地点へ時速36kmで走り、自動車QはB地点からA地点へ時速45kmで走ります。自動車PがA地点からB地点まで行くのにかかる時間と、自動車QがB地点からA地点まで行くのにかかる時間の合計は1時間24分です。2台の自動車PとQがそれぞれ A地点、B地点を同時に出発したところ、A地点とB地点の間にある C地点では、自動車Pが通りすぎてから自動車Qが通りすぎるまでに1分29秒かかりました。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)A地点からB地点までのキョリは何kmですか。

(2)自動車QがC地点を通りすぎたとき、C地点から自動車Pまでのキョリは何kmですか。

(3)A地点からC地点までのキョリは何kmですか。

Trp1012s



 

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 (1)P と Q の速さの比は、36 : 45 = 4 : 5 なので、

P と Q がA地点からB地点まで行くのにかかる時間の比は、

逆比となって、 5 : 4 です。

 

1時間24分=1.4時間 を 5 : 4 に分けると、

7/9時間と28/45時間 になります。

 

よって、A地点からB地点までのキョリは、

 36×7/9=28km  (45×28/45=28km

です。

 

 (2)自動車P の分速=36÷60=0.6km です。

自動車QがC地点を通りすぎたとき、C地点から自動車P

までのキョリは、1分29秒=89/60(分)より、

 89/60(分)×0.6=0.89km

です。

 

 (3)(2)までのことを利用することを考えましょう。

(2)の様子を下の図1に表しました。

     Pic_3928a

P と Q の速さの比が、4 : 5 なので、進んだキョリを④、⑤

とすると、④+⑤=28+0.89=28.89km です。

 

よって、④=28.89×4/9=12.84km とわかり、

A地点からC地点までのキョリは、

  12.84-0.89=11.95km

と求められます。

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2014年7月11日 (金)

タイル並べの規則性問題(大妻中学 2013年)

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下の図のように、白、赤、青のタイルを

1行目は 白1枚

2行目は 左から白、赤、青の3枚

3行目は 左から白、赤、青、白、赤の5枚

というように、白、赤、青の順番に並べていきます。

Pic_3923q

このとき、次の問に答えなさい。

(1)10行目の1番右のタイルは何色ですか。

(2)1行目から14行目までタイルを並べたとき、青色のタイルは全部で何枚ありますか。

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(1)一番右のタイルは、白→青→赤→白→青→赤→ ・・・となっているので、

10行目の一番右のタイルは、です。

(2)下の図1のように 5行目を加え、

Pic_3924a

【白】を数えてみると、1行目から、1、1,2、3,3,4,5,5,6・・・

となることに気付きます。

【青】も2行目から同様に並びます。

14行目の一番右のタイルは青色で、

 1+1+2+3+3+4+・・・+8+9

=4+10+16+22+9

61枚

のタイルがあることになります。

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2014年7月10日 (木)

5を含む電話番号は?(駒場東邦中学 2007年)

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0000から9999までの電話番号に用いられている4けたの数のうち、

0545のように5を2個以上ふくむのは何通りあるか、求めなさい。

Bo3

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Capture_2014_07_10_14_28_39_921

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連続した数の掛け算(筑波大学附属駒場中学 2012年)

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1からA までの連続した整数をかけて数を作ります。このようにして作った数について、一の位から連続して並ぶ「0」の個数を記号<A>で表します。

例えば、

1×2×3×4=24   なので、<4> の数値は「0」で、

1×2×3×4×5=120 なので、<5> の数値は「1」です。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)<10>、<15>の数値をそれぞれ答えなさい。

(2)<A> の数値にならない整数があります。それらのうち、小さい方から2つ答えなさい。

(3)<1>、<2>、<3>、・・・、<125> の数値の合計を求めなさい。

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B1

Capture_2014_07_10_13_58_23_62

Capture_2014_07_10_13_58_23_62

Capture_2014_07_10_13_58_46_203

Capture_2014_07_10_13_59_08_890

Capture_2014_07_10_13_59_23_203

Capture_2014_07_10_13_59_37_46

Capture_2014_07_10_13_59_37_46

Capture_2014_07_10_13_59_56_562

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対角線が通過する正方形(渋谷教育学園幕張中学 2012年)

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ややムズレベル

図のように、正方形のマスをたてに3個、よこに5個並べて長方形を作作ります。この長方形の1本の対角線は、斜線のの7個のマスを通過します。次の各問いに答えなさい。

1

(1)正方形のマスをたてに7個、よこに11個並べた長方形を作るとき、この長方形の対角線は、何個のマスを通過しますか。

2)正方形のマスをたてに39個、よこに51個並べた長方形を作るとき、この長方形の対角線は、何個のマスを通過しますか。

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Bandicam_20140710_132617750

Bandicam_20140710_132638765

Bandicam_20140710_132649562

Bandicam_20140710_132910343

Bandicam_20140710_132923171

Bandicam_20140710_132947687

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1~8で作った数の和は?(2012年算数オリンピック、トライアル問題より)

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下図のA~Hの8つの□の中に 1~8をそれぞれ1つずつ入れ、

矢印の方向に3けたの整数を4個たします。

1_2

例えば上右図のように数字を入れると

  175+528+836+641=2180

となります。

次に、また別の入れ方をして計算したところ、

4つの3けたの数字の合計が1725となりました。

このとき、下図においてB、D、F、Hの4つの数字の合計を求めなさい。

2

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4つの数字の和をA~Hを用いて表してみます。

100×A+10×B+C
100×C+10×D+E
100×E+10×F+G
100×G+10×H+A

したがって、4つの数字の和は

100×(A+C+E+G)+10×(B+D+F+H)+(A+C+E+G)

=101×(A+C+E+G)+10×(B+D+F+H)

A+C+E+G=□ 、 B+D+F+H=△ とおくお、

101×□+10×△=1725・・・・・・①

1~8まで全部足すと36なので、

□+△=36・・・・・・②

①と②より

101×□+10×(36-□)=1725

101×□-10×□=1725-360=1365

91×□=1365

□=15

△=B+D+F+H=36-15=21

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星型のとがった角度の合計は?

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星型のとがった角度の合計は何度になりますか?

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠?

1

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図のように、

C+E=P→△赤の外角

B+D=Q→△青の外角

A+B+C+D+E=A+P+Q=180°

2

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おうぎ形の上を転がる円 (女子学院中学 2014年)

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下の図のように、半径が12cmの扇形と、大きさと形が同じである三角定規2枚を組み合わせた図形を作り、壁にぴったりつけました。半径が1cmの円を、図のA のところからB のところまで、この図形に沿って、はなれないように転がしたとき、この円の通過した部分の面積を求めなさい。

Pic_3910q_2

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円の移動の様子は、左右対称なので、半分にすると

下の図1のようになります。

Pic_3911a

重要なのは図1の中の図2の部分で、

中心角30度の扇形となっています。

(円の中心が三角定規の辺の延長上に来るまで回転)

よって、円の通過した部分の面積は、

1×1×3.14+2×5×2+2×2×3.14×30/360×2

 +(14×14-12×12)×3.14×120/360

=(1+2/3+52/3)×3.14+20

=19×3.14+20=59.66+20

79.66c㎡

となります。

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2014年7月 8日 (火)

虫食い算

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□に入る数字、△に入る数字(慶應普通部 2010年)

□□/□□に0~9の数字を入れて、月日を表します。たとえば、02/01は2月1日を表します。

①0、0、1、2の4つの数字を1回ずつ使ってできる月日は、2月1日以外に何通りありますか。

②0、3、8と△の4つの数字を1回ずつ使うと、△通りの月日が表せます。その月日をすべて書きなさい。△には同じ数字が入ります。

考え方と答え 

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□にあてはまる数(SAPIX 第1回 比較合判テストより)

ア、イ、ウにあてはまる数は?(桜蔭中学 受験算数問題 2009年)

虫食い算(麻布中学 受験算数問題 2003年)

どうやって計算する?(栄東中学、東大クラス選抜 2010年算数入試問題)

当てはまる数は?(桜蔭中学 2009年)

積が同じなら(慶應義塾中等部 2009年)

AとBにはどんな数字が入る?(中学受験算数 数の性質)

麻布中学らしい問題(麻布中学 2008年)

四角に当てはまる数は?(久留米大学附設中学 2010年)

最も大きな答えは?(フェリス女学院中学 2009年)

ABCの組み合わせ(武蔵中学 2010年)

□に入る数字、△に入る数字(慶應普通部 2010年)

○の当てはまる数は?(山手学院中学 2010年)

どこから推理を始めますか?(那須高原海城中学 2010年)

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2014年7月 7日 (月)

約数と倍数

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111111111111(麻布中学 2011年)

1が12個ならんだ整数 111111111111 の約数について、次の問に答えなさい。

(1)1、11、111、1111、11111、111111、1111111、

11111111、111111111、1111111111、

11111111111、111111111111 のうち、

111111111111 の約数をすべて選びなさい。

(2)すべての位の数字が0か1であるような約数のうち、

(1)で選んだ数以外のものを7つ答えなさい。

考え方と答え

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切ったテープの長さ(麻布中学 算数入試問題 2010年)

AとBにはどんな数字が入る?(中学受験算数 数の性質)

ある数っていくつ?(中学受験算数 線分図)

連続して○がつく数(中学受験算数 数の性質)

共通の余り(中学受験算数 数の性質)

いくつまでの積が必要か?(中学受験算数 数の性質)

昨年の問題(栄東中学東大クラス選抜 2010年)

ABCの組み合わせ(武蔵中学 2010年)

111111111111(麻布中学 2011年)

赤、青、白玉の個数は?(桐朋中学 2011年)

1~81までの整数(立教新座中学 2010年)

今年の問題です(海陽中等教育学校(入試Ⅰ) 2012年)

順番に光るランプ(東海中学 2010年)

2回目に出会うのは?(六甲中学 2010年)

玉を同時に取り出す回数(フェリス女学院中学 2012年)

大量発生したセミ(渋谷教育学園幕張中学 2011年)

倍数と公倍数の分類(女子学院中学 2012年)

2014年7月 6日 (日)

魔方陣

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図のように、立方体の8つの頂点にボールを入れることができるようにしました。ボールには、①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧ の8種類の数が書かれています。立方体の面に、面を囲む頂点に入れたボールの数の和を書くと図のようになりました。このとき、青い面に書くことのできる数のうち、最も大きい数を答えなさい。

1

考え方と答え

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立体の魔方陣(豊島岡女子学園中学 2006年)

どう推理しますか?魔方陣の名作問題(学習院中等科 2008年)

A~Fまでに入る数字(東京学芸大学附属世田谷中学 2006年)

○の当てはまる数は?(山手学院中学 2010年)

魔方陣の中心は(栄東中学 2010年)

2014年7月 1日 (火)

折り紙

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1辺の長さが16cmの正方形の紙があります。

Zu1_5

Zu11   

図1のように、まず点Bが点Aに重なるように折り、次に点Dが点Aに重なるように折ります。そのあと、図2のように、点Aを含まない2辺のそれぞれの真ん中の点を結んだ線で三角形の部分を切りはなします。

(1)残った紙を広げたとき、広げた紙の面積は何c㎡ですか?

次に、紙を広げる前の状態にもどして、下の図のようにもう一度同じ作業を行います。

Zu2_3

まず点Eが点Aに重なるように折り、次に点Fが点Aに重なるように折ります。点Aを含まない2辺のそれぞれの真ん中の点を結んだ線で三角形の部分を切りはなします。

(2)2回目の切りはなす作業のあと、残った紙を広げます。広げた紙の面積は何c㎡ですか?

「まず切ってみようか」

 

「広げてみよう」

 

「真ん中の正方形の対角線の長さは?」

「8cmだから8×8÷2で面積は32c㎡、これを全体の正方形から引く」

16×16-32=224c㎡

「これは広げた紙をイメージできたとき」

「できなかったら?」

「図2の黄色い直角二等辺三角形に注目!」

「そうか、1/4の正方形の中にあるから、広げると4つできる」

16×16-4×(4×4÷2)

「(2)はこの考え方で解くといね」

「まず切ってみると・・・」

 

「元にもどしてもると・・・」

 

「同じように欠けている部分を4倍すると・・・」

(4×4÷2+4×4÷2)×4=64c㎡

「全体から引けばいいね」

16×16-64=192c㎡

「この方法使えそう・・・」

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切り取られた折り紙の面積(豊島岡女子学園中学 受験算数問題 2009年)

折り紙の角度(青山学院中学 受験算数問題 2009年)

長方形を折った角度(Sapix11月マンスリーテストより)

折り目と角度(渋谷教育学園渋谷中学 2009年 入試算数問題)

折り返した図形(慶應義塾普通部 受験算数問題 1999年)

切り取った部分の長さ(東大寺学園中学 算数入試問題)

折り紙の問題です(豊島岡女子学園中学 2009年算数入試問題)

切り取った部分の面積は?(修道中学 2008年算数入試問題)

折り紙は同じ角度を探す(愛光中学 2006年)

折った後の想像図(中学受験算数 折り紙)

折り紙の切り抜き部分(立教池袋中学 2010年)

折り紙を切って広げると・・・(慶應義塾湘南藤沢中等部 2010年)

重なった黒い部分の面積は(玉川学園中学 2010年)

円を折る(駒込中学 2010年)

残った部分の面積は?(本郷中学 2011年)

切り取ったあとの面積は?(山手学院中学 2010年)

折り紙問題の基本(お茶の水女子大附属中学 2009年)

青山学院中等部でよく出題される折り紙問題(青山学院中等部 2011年)

折り曲げた半円(慶應義塾中等部 2012年)

かげのついた部分の面積(慶應義塾湘南藤沢中等部 2012年)

図形イメージの問題(東京農業大学第一中等部 2010年)

長方形を折る(東邦大学付属東邦中学 2012年)

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