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2014年7月23日 (水)

グラフを描いて解く、速さ問題(灘中学 2013年)

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A君とB君はP地点を同時に出発し、P地点から42kmはなれたQ地点に向かいました。

A君は一定の速さで進みました。

また、B君はP地点から28kmはなれたM地点まで一定の速さで進んだのち、20分間休み、

M地点から先はそれまでの 3分の1倍の速さで進みました。

B君がM地点を出発して1時間21分後、A君はB君を追い抜き、

その後、A君はB君より20分早くQ地点に着きました。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)B君がM地点に着いたとき、A君はB君の後方何km の地点にいましたか。

(2)A君はP地点を出発して何時間何分後にQ地点に着きましたか。

720

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(1)A君とB君の移動の様子を下の図1のようにグラフにすると

Pic_3946a_2

B君のグラフを20分ずらすと、

A君とB君は同じ時間にQ地点に着くことがわかります。

B君がM地点からQ地点へ向かう速さを【1】とすると

P地点からM地点までは【3】です。

B君がP地点からQ地点まで、14kmごとにかかる時間を考えます。

P地点から14kmを<1>とすると、14kmからM地点も<1>

M地点からQ地点までは<3>という時間がかかります。

一方、A君は同じ速さで進んでいて、A君がP地点からQ地点に

着くまでの時間は<5>で、

B君がM地点に着いたときは<2>の時間が経過しているので、

A君が進んだキョリは、

42×2/5=16.8km

とわかり、A君はB君の、28-16.8=11.2km 後方にいた

ということになります。

(2)A君の速さについて考えると、

B君が28km進む間にA君は16.8km進んでいるので、A君の速さは、

 【3】 × 16.8/28 = 【1.8】

とわかります。

A君の速さと、B君がM地点からQ地点へ進むときの速さの比は

 【1.8】 : 【1】 = 9 : 5

なので、同じキョリを進むのにかかる時間の比は、

逆比になって 5 : 9 となります。

A君がB君に追いつく場所をR地点とすると、下の図2のように

 A君がM地点からR地点までにかかる時間は⑤

 B君がM地点からR地点までにかかる時間は⑨

となります。

Pic_3947a

⑨=81分 なので、 ⑤=45分 になります。

すると、下の図3のように、A君は11.2km を56分で移動したことがわかるので、

Pic_3948a_2

A君がP地点を出発してからQ地点に着くまでにかかる時間は

 11.2  :  56分 = 42  :  □

より、

 □=56×42÷11.2=210分=3時間30分

と求められます。

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