正三角形をしきつめた平面幾何 （麻布中学 2014年）

下の図は、平面を同じ大きさの正三角形でしきつめたものです。また、下の図で表されるような位置に、点Ｏ，点Ｘ，点Ｙ，直線ＸＹ があります。

点Ｙ を中心にして、直線ＸＹ を反時計回りに ６０度回転させたとき、点Ｘ が移る先の点を Ｚ とします。

（１）点 Ｚ を図１に黒丸で書き入れなさい。また、書き入れた黒丸の近くに Ｚ と書きなさい。

（２）角ＸＯＺ の大きさを答えなさい。

次に、下の図２のような正六角形ＡＢＣＤＥＦ の形をした紙を考え、直線ＢＤ と直線ＣＦ の交点を Ｉ とします。点Ａ と点 Ｉ が重なるようにこの紙を折り、元にもどします。すると、折り目は２つの辺 ＥＦ，ＡＢ と交わりました。このとき、折り目と辺ＥＦ との交点をＰ，辺ＡＢ との交点をＱ とするとき、次の問に答えなさい。

　　　

（３）ＥＰ と ＰＦ の長さの比、およびＡＱ とＱＢ の長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

（４）四角形ＡＱＰＦ の面積は、正六角形ＡＢＣＤＥＦ の面積の何倍になりますか。分数で答えなさい。

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（１）いきなり点Ｘ を回転させるのは難しいので、次のように考えましょう。

下の図３のように、点Ｙ から点Ｘ へ、直線ＸＹ ではなく、

正三角形の線を通って向かう青線と赤線を考えます。

青線は正三角形の辺４本分、赤線は２本分です。

次に、下の図４のように、まず青線を６０°回転させます。

下の図５のように、青線と赤線は１２０°をなしているので、

青線の先（Ｗ）から１２０°の角度で赤線を引けば、そこが点Ｚ の位置になります。

三角形ＹＶＸ と三角形ＹＷＺ が合同で、線ＶＹが６０°回転しているで、

線ＸＹ も６０°回転して点Ｚ の位置になります。

（２）下の図６のように、点Ｘ から点Ｚ までを青線と赤線で結ぶことができ、

三角形ＹＶＸ，ＹＷＺ，ＺＵＸ は合同なので、

ＸＹ＝ＹＺ＝ＺＸ とわかり、三角形ＸＹＺ は正三角形です。

点Ｏ はＸＹ のまん中の点なので、

正三角形の頂点（Ｚ）から底辺の真ん中の点へ線を引いたときにできる角ＸＯＺ は

９０°（直角）となります。

（３）正六角形を図１に書きこむと、下の図７のようになります。

ちょうど、点Ａ，Ｉ は、図１の点Ｙ，Ｘ になります。

そして、点Ａ を点 Ｉ と重なるように折ったときの折り目は、

直線Ａ Ｉ と垂直に交わる線で、図６の点Ｏ，Ｚ を結んだ線と同じになるので、

図６に書き込むと、下の図８のようになります。

点Ｐ はＥＦ のまん中の点なので、ＥＰ ： ＰＦ ＝ １ ： １ です。

次に、下の図９のように

三角形ＯＱＲ と三角形ＯＴＳ は合同で、

さらに三角形ＯＰＧ と相似で、相似比が １ ： ２ なので、

ＱＲ の長さは、正三角形の１辺の長さの半分とわかり、

ＡＱ ： ＱＢ ＝ ７ ： １ です。

（４）正六角形ＡＢＣＤＥＦ は、正三角形９６個分の面積です。

四角形ＡＱＰＦ は、（３）より、三角形ＯＱＲ と三角形ＯＴＳ が合同なので、

面積を移すことができます。

また、下の図１０で点Ｔ がＳＨのまん中の点なので、

三角形ＰＴＨ の面積は、平行四辺形ＰＧＳＨ の面積の ４分の１ となります。

平行四辺形ＰＧＳＨ は正三角形４個分の面積なので、

三角形ＰＴＨ の面積は、正三角形１個分の面積とわかります。

よって、四角形ＡＱＰＦ の面積は、

　平行四辺形ＡＲＳＦ（正三角形２４個分）

　三角形ＰＨＦ（正三角形４個分）

　三角形ＰＴＨ（正三角形１個分）

でできているので、

正三角形２９個分ということがわかります。

ゆえに、四角形ＡＱＰＦ の面積は、正六角形ＡＢＣＤＥＦ の面積の

　 ２９/９６倍

です。

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