目次

« 線分図を使い、比をそろえて解く技 | トップページ | 三角形の相似を利用して解く旅人算! »

2014年7月14日 (月)

正三角形をしきつめた平面幾何 (麻布中学 2014年)

下の図は、平面を同じ大きさの正三角形でしきつめたものです。また、下の図で表されるような位置に、点O,点X,点Y,直線XY があります。

Pic_3912q

点Y を中心にして、直線XY を反時計回りに 60度回転させたとき、点X が移る先の点を Z とします。

(1)点 Z を図1に黒丸で書き入れなさい。また、書き入れた黒丸の近くに Z と書きなさい。

(2)角XOZ の大きさを答えなさい。

 

次に、下の図2のような正六角形ABCDEF の形をした紙を考え、直線BD と直線CF の交点を I とします。点A と点 I が重なるようにこの紙を折り、元にもどします。すると、折り目は2つの辺 EF,AB と交わりました。このとき、折り目と辺EF との交点をP,辺AB との交点をQ とするとき、次の問に答えなさい。

   Pic_3913q

(3)EP と PF の長さの比、およびAQ とQB の長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

(4)四角形AQPF の面積は、正六角形ABCDEF の面積の何倍になりますか。分数で答えなさい。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

(1)いきなり点X を回転させるのは難しいので、次のように考えましょう。

下の図3のように、点Y から点X へ、直線XY ではなく、

正三角形の線を通って向かう青線と赤線を考えます。

青線は正三角形の辺4本分、赤線は2本分です。

Pic_3914a

次に、下の図4のように、まず青線を60°回転させます。

Pic_3915a

下の図5のように、青線と赤線は120°をなしているので、

青線の先(W)から120°の角度で赤線を引けば、そこが点Z の位置になります。

Pic_3916a

三角形YVX と三角形YWZ が合同で、線VYが60°回転しているで、

線XY も60°回転して点Z の位置になります。

(2)下の図6のように、点X から点Z までを青線と赤線で結ぶことができ、

Pic_3917a

三角形YVX,YWZ,ZUX は合同なので、

XY=YZ=ZX とわかり、三角形XYZ は正三角形です。

点O はXY のまん中の点なので、

正三角形の頂点(Z)から底辺の真ん中の点へ線を引いたときにできる角XOZ は

90°(直角)となります。

(3)正六角形を図1に書きこむと、下の図7のようになります。

Pic_3918a

ちょうど、点A,I は、図1の点Y,X になります。

そして、点A を点 I と重なるように折ったときの折り目は、

直線A I と垂直に交わる線で、図6の点O,Z を結んだ線と同じになるので、

図6に書き込むと、下の図8のようになります。

Pic_3919a_2

点P はEF のまん中の点なので、EP : PF = 1 : 1 です。

次に、下の図9のように

Pic_3920a_2

三角形OQR と三角形OTS は合同で、

さらに三角形OPG と相似で、相似比が 1 : 2 なので、

QR の長さは、正三角形の1辺の長さの半分とわかり、

AQ : QB = 7 : 1 です。

(4)正六角形ABCDEF は、正三角形96個分の面積です。

四角形AQPF は、(3)より、三角形OQR と三角形OTS が合同なので、

面積を移すことができます。

また、下の図10で点T がSHのまん中の点なので、

三角形PTH の面積は、平行四辺形PGSH の面積の 4分の1 となります。

Pic_3921a

平行四辺形PGSH は正三角形4個分の面積なので、

三角形PTH の面積は、正三角形1個分の面積とわかります。

よって、四角形AQPF の面積は、

 平行四辺形ARSF(正三角形24個分)

 三角形PHF(正三角形4個分)

 三角形PTH(正三角形1個分)

でできているので、

正三角形29個分ということがわかります。

ゆえに、四角形AQPF の面積は、正六角形ABCDEF の面積の

  29/96倍

です。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ!

どう解く?中学受験算数

パズルのような算数クイズ

算数オリンピック問題に挑戦!

全国150中学校の入試問題と解法

これが中学入試に出た図形問題!

公式、法則、受験算数の極意

分野別66項目へ

ママだって家庭教師!

1分で解ける算数

アニメーションでイメージをつかむ解法

パズル?おもしろ算数問題

イメージでわかる中学受験算数問題
 

« 線分図を使い、比をそろえて解く技 | トップページ | 三角形の相似を利用して解く旅人算! »

クイズ」カテゴリの記事

パズル」カテゴリの記事

中学受験」カテゴリの記事

平面図形」カテゴリの記事

日記・コラム・つぶやき」カテゴリの記事

算数」カテゴリの記事

算数オリンピック」カテゴリの記事

角度」カテゴリの記事

コメント

コメントを書く

(ウェブ上には掲載しません)

トラックバック

この記事のトラックバックURL:
http://app.cocolog-nifty.com/t/trackback/108988/59984346

この記事へのトラックバック一覧です: 正三角形をしきつめた平面幾何 (麻布中学 2014年):

« 線分図を使い、比をそろえて解く技 | トップページ | 三角形の相似を利用して解く旅人算! »

スポンサードリンク

2017年9月
          1 2
3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30

不思議な休憩室