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2014年7月29日 (火)

点の移動と面積の変化をグラフで読む!(浅野中学 2011年)

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下の図1のような台形ABCD があります。BC とAD は平行で、

BC=4cm、AD=10cm、AB=CD です。

点P はこの台形の周上を、Aを出発しBからCを通ってDまで動きます。

点P の速さは、AB間は毎秒1cm、BC間は毎秒2cm、CD間は毎秒5cm です。

下の図2は点PがAを出発してからの時間と三角形ADP の面積の関係を表したグラフです。このとき、次の問に答えなさい。

   Pic_3952q_2

   Pic_3953q

(1)台形ABCD の面積を求めなさい。

(2)図2の(ア)、(イ)に当てはまる数を求めなさい。

(3)三角形ADPの面積が台形ABCD の面積の半分になるのは、点PがAを出発してから何秒後と何秒後ですか。

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解答

(1)グラフより、三角形ABD の面積が 20c㎡ ということがわかります。

下の図3からもわかるように、三角形ABD と三角形BCD は

高さが等しいので、その面積比は、10:4=5:2 です。

   Pic_3954a

よって、三角形BCD の面積は、20×2/5=8c㎡ とわかるので、

台形ABCD の面積は、20+8=28c㎡ です。

 

(2)BC間(4cm)を点Pは毎秒2cmで進むので、2秒かかり、

(ア)~(イ)は2秒間であることがわかります。

AB間 と CD間 の速さの比が 1 : 5 なので、かかる時間は 5 : 1です。

AB間 と CD間 にかかった時間は、8-2=6秒で、これを 5 : 1

にわけると、5秒と1秒になり、

  (ア)=5秒

  (イ)=5+2=7秒

と求められます。

 

(3)台形ABCD の半分の面積は、14c㎡ です。

下の図4のグラフより、14c㎡ になるのが2回あることがわかり、

1_3    

グラフの相似な三角形に注目すると、

1回目は、20:5=4:1=14:□で、

□=14÷4=3.5秒

2回目は、20:(8-7)=20:1=(20-14):△=6:△で、

△=6÷20=0.3秒

7+0.3=7.3秒

とわかり、

 1回目は3.5秒後

 2回目は7.3秒後

です。

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