周期性

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あるところに、冬でも活動する不思議なカエルがいました。このカエルは、山の斜面を１回のジャンプで１０ｃｍ登ることができます。このカエルは、ジャンプを始めると、ジャンプとジャンプの間に一定の時間をおきながら、続けて２０回のジャンプをします。このとき、ジャンプを始めてから最後のジャンプで着地するまで５分かかります。その後、１０分間休みます。このカエルは、このような５分間のジャンプと１０分間の休みをくり返しながら山の斜面を登っていきます。このとき、次の問に答えなさい。

（１）このカエルは、山の斜面でジャンプを始めてから５５分後には何 ｍ 登ったところにいますか。

（２）このカエルが山の斜面を登って行くと、氷の斜面にたどり着きました。氷の斜面では、ジャンプで着地してから次にジャンプをするまでの間に ２ｃｍ下がってしまいます。また、１０分間の休みを取っている間にも ８０ｃｍ下がってしまいます。

【１】この氷の斜面では、ジャンプを始めてから続けて２０回のジャンプをして最後に着地するまでに、どれだけ登ることができますか。

【２】この氷の斜面は ９ｍ 続いていました。この氷の斜面の一番下からジャンプを始めると、氷の斜面の一番上に到達するまでに、どれだけの時間がかかりますか。

考え方と答え

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周期の規則性（SAPIX　８月マンスリーテストより）

周期の規則性（Sapixスタンダードテストより）

間かくの規則性（Sunday Sapixより）

電車とバス（神戸女学院中学　受験算数問題　改題）

つながったくさり（中学受験算数問題　規則性）

これ、全部正解できる小学生いますか？（筑波大学附属駒場中学　2006年）

速さと周期算（麻布中学　受験算数問題　２００９年）

カエルぴょこぴょこ（浦和明の星女子中学　2011年）

２０１０番目の数字は？（六甲中学　２０１０年）

いくつになるかな？（浅野中学　２００８年）

連続した数の掛け算（筑波大学附属駒場中学　2012年）

２回目に出会うのは？（六甲中学　２０１０年）

数列の規則

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ある規則にしたがって数がならんでいます。

はじめから数えて１００番目の数はいくつですか？

「できたけど、解答とやり方が違ってる」

「解答では差を並べた数列を作ってるね」

「差が３ずつ増えていくんだろ」

「そう、そしてそれを９９個並べる」

「差の３が９８個あるから、それに２をたせばいいのか」

３×９８＋２＝２９６

「これが２番目の数列の９９番目の数」

「そうか、あとはガウス算」

（２＋２９６）×９９個÷２＝１４７５１

「最初の１を忘れないで」

「答え１４７５２、こっちの方が簡単だった」

「簡単だったって、どうやったの？」

「①番目は１×１、②番目は２×２、③番目は３×３、④番目は４×４・・・に同じだ、と思ったら、微妙にちがう。それに・・・」

「５番目からはどんどん離れていっちゃう。ダメかなと思ったけど・・・」

「その差をだしてみたら、増え方に規則性があった・・・」

「最初だけ１少なくなるけど、あとは１ずつ増えていく。１００番目では９７増えるわけ。で１～９７を全部たして、最初の１を引いたら４７５２になった」

１００×１００＋４７５２＝１４７５２

「ずいぶんと回りくどいね」

「だから時間がかかった」

「試験ではちょっとね・・・」

「そう思う」

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規則性（ＳＡＰＩＸ６月マンスリー算数問題より）

正方形の一辺の長さ（中学受験　算数問題　女子学院２００９）

数列の規則性（SAPIX　標準テストより）

分数の性質（浅野中学　受験算数問題　2003年）

規則性のある数列（筑波大学附属駒場中学　受験算数問題　2009年）

規則的な数の並び（巣鴨中学　算数入試問題　2005年）

等差数列（中学受験算数　規則性）

数の個数と和（海城中学　２００５年　算数入試問題　規則性）

○○番目にくる数字は？（中学受験算数　規則性）

規則的な数字の並び方（中学受験算数　規則性）

規則性の基本問題（日本女子大学附属中学　２０１０年）

何段目ですか？（早稲田実業学校中等部　２００８年）

どんな規則性？（自修館中等教育学校　２０１０年）

数並びの規則性（東京電機大学中学　２０１０年）

並んだ数の規則性（埼玉栄中学　２０１０年）

３の入っている数字（南山中学　２０１０年）

どんな規則性？（早稲田実業中等部　２００８年）

どんな順序で並んでいる？（中村中学　２０１０年）

記号の並び方（神戸女学院中等部　２０１０年）

１と２だけの数（甲南中学　2008年）

並び方の規則性（鎌倉女学院中学　２０１０年）

どんな規則性が見つかりますか？（慶應義塾湘南藤沢中等部　２０１１年）

規則性の難問　数の並び（桜蔭中学　2012年）

数の並びの規則性（女子学院中学　2010年）

毎年どこかの中学で出題される三角数の法則（栄東中学　２０１２年）

ぬり方

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底面、上面が大きさの異なる正方形で、側面が４つの等しい台形からなる立体があります。この立体に赤、青、黄色の３色の色をぬるとき、同じ色を２回ずつ使ってぬる方法は何通りですか？

ただし、立体を回転させたとき同じになるぬり方は、同じものとします。

「全部で６面あるから、２面ずつぬるってことかな？」

「そう、まず底面と上面が同じ色の場合はどうなるかな？」

「側面はこれと・・・」

「これの２通り」

「上下が同じ色になるのは３通りだから・・・」

２×３＝６通り

「次は上下が違う場合」

「これと・・・」

「この２つで３通り、上下がひっくり返って倍の６通り」

「上下の色の組み合わせは３通りだから・・・」

６×３＝１８通り

６通り＋１８通り＝２４通り

「やっぱりこうやって、一つ一つ調べていかなきゃだめなのかなぁ？」

「小学生はね」

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立体の色ぬり（芝中学　受験算数問題　2007年）

ぬり方は何通り？（浅野中学　２００８年　算数入試問題　場合の数）

何色でぬり分けられる？（お茶の水女子大学附属中学　２０１０年）

ぬり方は何通り？（愛知淑徳中学　２０１０年）

図形の場合の数

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正方形は何種類？（場合の数）

図のようにたて、横１ｃｍおきに、25個の点が規則正しく並んでいます。これらの点から４つ選んで、その点を頂点とする正方形をつくると、大きさのちがう正方形が何種類もできます。次の問いに答えなさい。ただし、選んだ点を結んだ直線の上に他の点があってもよいものとします。
（１）何種類の正方形ができますか。
（２）全部で何個の正方形ができますか。

注意深く数えても間違いやすい。

特に個数は・・・

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３分割するには？（灘中学　２００９年　算数入試問題　場合の数）

図形の重なり部分の面積と場合の数（久留米大学附設中学　受験算数問題　2007年）

交わらない１組（第１１回算数オリンピック　ファイナル問題より）

正方形は何種類？（中学受験算数　場合の数）

第３０回高校生クイズ大会（対角線の数）

上手な数え方ってあるの？（中学受験算数　場合の数）

三角形を上手に数える問（中学受験算数　場合の数）

高さの種類は何通り？（浅野中学　２０１０年）

立方体制作と場合の数（久留米大学附設中学　２０１０年）

平行四辺形はいくつできる？（青山学院中等部　２０１１年）基本問題

正方形は何通りできますか？（早稲田中学　２０１１年）

サイコロの目の出方（渋谷教育学園幕張中学　２０１０年）

３点を結んでできる三角形（豊島岡女子学園中学　２０１０年）

積み重ねた立方体の個数（東邦大学付属東邦中学　２０１２年）

正方形の作図（早稲田中学　２０１２年）

入れ方、並び方、取り出し方

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もう最初から苦手意識です。

何度も練習しているのに、この前のサピックス
マンスリーのこの手の問題も全滅。

時間をかけてじっくり教えていくほか

手がなさそうです。（順列と組み合わせ）

Sapix２００９年６月マンスリー算数　類題

私と父、母、姉と弟で電車に乗ったら、

図のような７人がけの座席に５人分の座席が空いていました。

そこで３人と２人でわかれて座ることにしました。

（１）家族５人の座り方は全部で何通りですか？
（２）私が姉のとなりに座ると、
　　　家族５人の座り方は何通りですか？
（３）３人、２人のどちらの組にも親が入るようにす　　ると、家族５人の座り方は何通りですか？

じっくりムービー解答はコチラ

（１）の静止画解答

（２）の静止画解答

（３）の静止画解答

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Ｓａｐｉｘ６月マンスリー　算数　類題

空らんをうめる場合の数（sapixディーリーサポートより）

ボール入れの場合の数（SAPIX入室、組分けテストより）

くだものを取り出す場合の数　（早稲田実業中学　受験算数問題　2009年）

２部屋を使う場合の数（Sapix基礎テストより）

直方体の積み方（芝中学　受験算数問題　2005年）

マス目に１を入れる（中学受験算数問題　場合の数）

組み合わせを書き出す（中学受験算数　場合の数）

分ける方法は何通り？（中学受験算数　発想が違った問）

支払い方は？（中学受験算数　場合の数）

並び方は何通り？（中学受験算数　数える問）

色のついた玉を取り出す

三角形は何個？（中学受験算数　場合の数）

オオカミなんてこわくない？（中学受験算数　場合の数）

お菓子の分け方（中学受験算数　場合の数）

入れ方は何通り？（中学受験算数　場合の数）

ワールドカップの総試合数（城北中学　２００９年）

地道に数えていくしか・・・（慶応義塾中等部　２０１１年）

５を含む電話番号は？（駒場東邦中学　２００７年）

ＡＢＣに入る数は？（慶應義塾湘南藤沢中等部　２０１０年）

交わる対角線は何通り？（同志社中学　２０１０年）

並べ方は何通り？（早稲田実業学校中等部　２００８年）

３けたの整数のうち、偶数は？（関東学院六浦中学　２０１０年）

カードの取り出し方（桐光学園中学　２０１０年）

カードの並べ方（西武学園文理中学　２０１０年）

あっちむいてホイ！（渋谷教育学園幕張中学　2006年）

並べ方の場合の数は？（麻布中学　２０１２年）

□に入る数字、△に入る数字（慶應普通部　２０１０年）

サイレンの信号は何通り？（渋谷教育学園渋谷中学　２０１１年）

さいころの目の出方は何通り？（法政大学中学　２００９年）

道順

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「小問では一番正答率が低かった問題だね」

「そう、これできなかった」

３つの地点A、B、Cを結ぶ道があります。このとき、A地点からC地点まで行き、同じ道を通らないようにA地点までもどってくる道順は、全部で何通りありますか？

「２通りに分けて考えると数えやすいんだけどね」

「AとCを結ぶ道を通る場合と、通らない場合」

「このAとCを直接結ぶ道を行きに通るか、帰りに通るかで２倍、場合の数が増えるところが注意点」

「この赤い道を通らない場合は１２通り、通る場合も１２通り」

２通り×３通り×２通り×１通り＝１２通り

１通り×３通り×２通り×２通り（行きと帰り）＝１２通り

全部で２４通り

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道順は何通り（四谷大塚　第２回合不合判定予備テストより）

道を通る場合の数（四谷大塚　合不合判定テストより）

三角すいの側面の道の数（四谷大塚　第２回合不合判定テストより）

道順は何通り？（本郷中学　算数入試問題　２００９年）

行き方の数は？（中学受験算数　場合の数）

正三角形内の移動（灘中学　２００７年　算数入試問題）

すごろく（桜蔭中学　２００７年）

道順は何通り？（中学受験算数　場合の数）

階段の上り下り（淑徳与野中学　２０１０年）

さいころの転がり方（城北埼玉中学　2010年）

道順は何通り？（淑徳与野中学　2011年）

サイコロの目の出方は？（大阪星光学院中学　２０１２年）

道順の場合の数、基本問題（清風南海中学　２０１０年）

すごろくの算数問題（サレジオ学院中学　２００９年）

２人の競技の勝ち負け（渋谷教育学園幕張中学　２００９年）

道順の数え方の基本（フェリス女学院中学　2003年）

売買損益

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市場から仕入れたホウレン草に売値をつけました｡仕入れ値の３割増しで売値をつけたつもりが、売値の３割が利益となるように売値をつけてしまいました。その結果、売値が予定より27円高くなってしまいました。仕入れ値はいくらですか。

考え方と答え

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価格と比（SAPIX　８月マンスリーテストより）

売った割合（中学受験算数　割合と比）

原価は？（中学受験算数　売買損益）

定価の何割引き？（中学受験算数　割合）

仕入れ値の何％増し？（芝中学　２０１０年）

売値と仕入れ値（白陵中学　２０１０年）

水食塩

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濃さ7％の食塩水６００ｇを加熱して□ｇ蒸発させた後、食塩３０ｇを加えてよくかき混ぜると、濃さ１８％の食塩水になります。□は何ｇですか？

ーー親子で考えた濃度算ーー

「どうやって解いたの？」

「７％で６００ｇの食塩水だから、

溶けている塩は４２ｇ」

「うん。それから？」

「３０ｇの塩を加えたから７２ｇの塩になった」

「うん、うん。それから？」

「１８％になったわけだから、

７２ｇ÷０．１８で４００gの食塩水ができたことになる」

「うん。うん。そうね。だから？」

「あとは６００ｇ－４００ｇで、答えは２００ｇ」

ちゃんと、ひっかかるべきところでひっかかっています。

「７％だから確かに塩は４２ｇ」

「それに３０ｇの塩が加わって、４００ｇの食塩水ができる」

「新しく加えた塩の分を忘れていない？」

「あー、３０ｇ、６００ｇにたすのか！５点損した！」

「塩の量をそれぞれの食塩水から引いてもいいわけ」

「問題に取り組む姿勢があまいの！」

「食塩水は塩からい」

「・・・・・・」

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中学受験算数（食塩水の問題）

食塩水（7月　サピックス入室、組分けテストより）

食塩水の割合とてんびん図（SAPIXサマーサポートより）

食塩水と水ABC（中学受験算数　割合と濃度）

てんびん図で解く濃度（東邦大学付属東邦中学　２００８年　算数入試問題）

食塩の濃度は？（中学受験算数　塩辛い問）

食塩水と間違えて水を（中学受験算数　夏期デイリーチェック）

移し変えた食塩水の濃度（天びん図の使い方）

容器が１０個の食塩水（中学受験算数　割合と比）

はじめに入っていた水の量は？（中学受験算数　文章題総合）

面積図で解く？てんびん図で解く？（中学受験算数　割合）

元の食塩水の濃さは？（早稲田中学　２０１０年）

水の濃度は何％？（法政大学中学　２０１０年）

今年の問題→食塩水の濃度（雙葉中学　２０１１年）

食塩水の基本問題（東京電機大学中学　２０１０年）

食塩水と水（開智中学　２０１０年）

食塩水の難問（栄東中学　２０１１年）

てんびん図を使って解く食塩水問題（六甲中学　２０１２年）

砂糖水だって考え方は食塩水と同じ（白百合学園中学　2007年）

てんびん図の基本的な使い方（浅野中学　２０１１年）

移した量と蒸発した量（洛星中学　２０１０年）

ちょっと難しい食塩水問題（聖光学院中学　2011年）

食塩水の移し替え（渋谷教育学園渋谷中学　２０１１年）