整数の操作計算問題
整数をいくつかの整数の和で表し、
和を作る整数をかけてできる数について考えます。
たとえば、５について考えると、
１＋１＋１＋１＋１、１＋１＋１＋２、１＋１＋３
など６通りあり、
このうち、現れる整数をかけて最も大きくなるのは、２＋３のときで、
２×３＝６となります。
また、１＋１＋３
と、１＋３＋１と、３＋１＋１は同じものとみなすこととし、
次の問に答えなさい。
（１）整数「６」について、いくつかの整数の和で表して、現れる整数をかけてもっとも大きくするといくらになりますか。
（２）整数「１６」について、いくつかの整数の和で表して、現れる整数をかけてもっとも大きくするといくらになりますか。
（３）ある整数について、いくつかの整数の和で表して、現れる整数をかけてもっとも大きくするには、どのようにすればよいのか答えなさい。
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（１）６＝１＋１＋１＋１＋１＋１ とすると、現れる数をかけると
１×１×１×１×１×１＝１ です。
６＝２＋１＋１＋１＋１ とすると、かけてできる数は「２」
６＝３＋１＋１＋１ とすると、かけてできる数は「３」
６＝４＋１＋１ とすると、かけてできる数は「４」
６＝５＋１ とすると、かけてできる数は「５」 です。
６＝２＋２＋２ とすると、かけてできる数は２×２×２＝「８」です。
６＝２＋３＋１ とすると、かけてできる数は「６」です。
６＝２＋４ とすると、かけてできる数は「８」です。
６＝３＋３ とすると、かけてできる数は、「９」です。
よって、もっとも大きくすると「９」になります。
（２）４＝２＋２ なので、「４」を１つ使うことと「２」を２つ使うことは
同じ結果となります。
５＝２＋３ なので、「５」を１つ使うことよりも、「２」と「３」に分けて
２×３＝６ として使う方が大きい結果となります。
以降も、「６」は「３」と「３」に分ける方が大きい結果に、
「７」は「３」、「２」、「２」に分ける方が大きい結果に、
「８」は「２」を３つ、「９」は「３」を２つ使うことに等しく、
「１０」も「５」と「５」に分けた方が大きい結果となり、
さらに「５」は「２」と「３」に分けた方が大きい結果となります。
１６＝２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋２ とすると、
２×２×２×２×２×２×２×２＝２５６
ここで、「６」＝２＋２＋２ としたときと、「６」＝３＋３ としたときでは、
３＋３の方が大きい結果となるので、
１６＝３＋３＋３＋３＋２＋２ として、
３×３×３×３×２×２＝３２４ がもっとも大きくなります。
（３）大きい結果とするには、
偶数の場合は、
「２」だけの和で表した後で、２＋２＋２をすべて３＋３に直す。
奇数の場合は、
「２」だけの和で表し、最後の＋１は、「＋３」とした後で、
２＋２＋２をすべて３＋３に直せばよい。
これをまとめると、整数を「２」と「３」だけの和で表し、
できる限り「３」を多く使えばよい。ということになりますね。
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