円柱の周りを回る点の動きは？（ラ・サール中学 2000年）
円柱があり、正面から見て長方形に見えるときの頂点をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとします。
点ＰがＡを出発して、円柱の周りを２回周って、最短ルートでＤへ向かいます。
また、点ＱはＢを出発して、円柱の周りを１回周って、最短ルートでＣへ向かいます。
いま点Ｐ，Ｑが同時にＡ，Ｂを出発して一定の速度で移動したところ、
１８０秒後に同時にＣ，Ｄに着きました。
このとき次の問に答えなさい。
（１）点Ｐ，Ｑの作る線ＰＱを真上から見たとき、
底面の円の直径ＡＢと垂直になるのは出発から何秒後か全て答えなさい。
（２）点Ｐ，Ｑの作る線ＰＱの長さが、
円柱の底面の円の半径の長さと等しくなるのは出発から何秒後か、全て答えなさい。
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（１）点Ｐ、Ｑは同時に底面を出発し、同時に上面に着いている
ので、点Ｐ，Ｑは常に底面からの高さが等しいことになり、
線ＰＱは常に底面と平行ということになります。
線ＰＱがＡＢと垂直に交わるのは、点Ｐが正面側にあり、点Ｑが
裏側にいるときと、点Ｐが裏側で点Ｑが正面側にいるときの
２回考えられます。（下の図１）
このとき、点Ｐは円柱を２周、点Ｑは円柱を１周するので、
点Ｐが移動した距離ＡＰ（図１の青線）は、点Ｑが移動した
距離ＢＱ（図１の赤線）の２倍ということになります。
（点Ｐが１周する間に点Ｑは半周するので）
ということは、図１の円の中心をＯとすると、
角ＡＯＰ＝角ＢＯＱの２倍 ということがわかります。
角ＢＯＱ＝角ＢＯＰでもあり、角ＢＯＰ＋角ＡＯＰ＝１８０度より、
角ＡＯＰ＝１２０度、角ＢＯＰ＝６０度ということがわかります。
すると、点Ｐが１２０度（または点Ｑが６０度）進むのは
何秒かかるのかを調べればよいことになります。
点Ｐは２周を１８０秒、すなわち、３６０×２＝７２０度を１８０秒
かかるので、１２０度移動するには、１８０÷７２０×１２０＝３０秒
ということがわかります。
出発から３０秒後ということがわかりましたので、対称性から
点ＰがＤに着く３０秒前にもＡＢと線ＰＱは垂直になり、
２回目に垂直になるのは、１８０-３０＝１５０秒後
ということになります。
（２）最初、点Ｐは点Ｑと１８０度はなれています。
移動するにつれて、角度の差は０度に近づき、点Ｐが１周すると
点Ｑと重なって、０度になります。（下の図２）
線ＰＱの長さが半径と等しくなるということは、下の図３のように
三角形ＯＰＱが正三角形になるということになるので、
角ＰＯＱ＝６０度です。
点Ｐは９０秒で点Ｑに追いつくので、（角度１８０度→０度）
１秒に２度ずつ差がなくなり、角ＰＯＱ＝６０度になるのは、
出発してから （１８０－６０）÷２＝６０秒後 となります。
また、対称性から、点ＰがＤに着く６０秒前、すなわち
出発してから １８０－６０＝１２０秒後 にも線ＰＱは半径と同じ
長さになります。
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