速さ

2015年3月29日 (日)

円柱の周りを回る点の動きは?(ラ・サール中学 2000年)

円柱があり、正面から見て長方形に見えるときの頂点をA,B,C,Dとします。

点PがAを出発して、円柱の周りを2回周って、最短ルートでDへ向かいます。

また、点QはBを出発して、円柱の周りを1回周って、最短ルートでCへ向かいます。

         

いま点P,Qが同時にA,Bを出発して一定の速度で移動したところ、

180秒後に同時にC,Dに着きました。

このとき次の問に答えなさい。

(1)点P,Qの作る線PQを真上から見たとき、

底面の円の直径ABと垂直になるのは出発から何秒後か全て答えなさい。

(2)点P,Qの作る線PQの長さが、

円柱の底面の円の半径の長さと等しくなるのは出発から何秒後か、全て答えなさい。

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 (1)点P、Qは同時に底面を出発し、同時に上面に着いている

ので、点P,Qは常に底面からの高さが等しいことになり、

線PQは常に底面と平行ということになります。

 

線PQがABと垂直に交わるのは、点Pが正面側にあり、点Qが

裏側にいるときと、点Pが裏側で点Qが正面側にいるときの

2回考えられます。(下の図1)

      

このとき、点Pは円柱を2周、点Qは円柱を1周するので、

点Pが移動した距離AP(図1の青線)は、点Qが移動した

距離BQ(図1の赤線)の2倍ということになります。

  (点Pが1周する間に点Qは半周するので)

ということは、図1の円の中心をOとすると、

角AOP=角BOQの2倍 ということがわかります。

角BOQ=角BOPでもあり、角BOP+角AOP=180度より、

角AOP=120度、角BOP=60度ということがわかります。

 

すると、点Pが120度(または点Qが60度)進むのは

何秒かかるのかを調べればよいことになります。

 

点Pは2周を180秒、すなわち、360×2=720度を180秒

かかるので、120度移動するには、180÷720×120=30秒

ということがわかります。

 

出発から30秒後ということがわかりましたので、対称性から

点PがDに着く30秒前にもABと線PQは垂直になり、

2回目に垂直になるのは、180-30=150秒後

ということになります。 

  

 

(2)最初、点Pは点Qと180度はなれています。

移動するにつれて、角度の差は0度に近づき、点Pが1周すると

点Qと重なって、0度になります。(下の図2)

       

線PQの長さが半径と等しくなるということは、下の図3のように

       

三角形OPQが正三角形になるということになるので、

角POQ=60度です。

 

点Pは90秒で点Qに追いつくので、(角度180度→0度)

1秒に2度ずつ差がなくなり、角POQ=60度になるのは、

出発してから (180-60)÷2=60秒後 となります。

 

また、対称性から、点PがDに着く60秒前、すなわち

出発してから 180-60=120秒後 にも線PQは半径と同じ

長さになります。

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2015年3月21日 (土)

グラフで考える旅人算 (関西学院中学 2010年)

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太郎君は午前9時にA町を出発し、9kmはなれたB町に午後11時に着きました。途中1回休みましたが、休んだ後は休む前の1.5倍の速さで歩きました。
次郎君は同じ日の午前9時にB町を出発してA町に向かいました。途中1回休みましたが、歩く早さは変えず、太郎君より15分早くA町に着きました。
下のグラフは、その様子を表したものです。2人が出会った時刻は、何時何分何秒ですか。

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 まず、次郎君がA町に着いたのは、10時45分です。

 

 次に、グラフより、太郎君が3km地点に着いた時刻と、

次郎君がA町から6kmの地点を出発する時刻が同じで、

太郎君がA町から3km地点へ向かう速度と次郎君の速度の

比が2:3なので、下の図1のように、

太郎君が3km進み、次郎君が6km進むことに注意すると、

  9時から時刻C までの時間 : 時刻C から10:45までの時間

= 3  :  4  とわかります。

 

よって、時刻C は、1時間45分(105分)を3:4に分けて、

9時45分 です。

 

このことから、太郎君は、最初45分で3km進む速さ、

つまり、時速4km で歩き、その後は1.5倍の時速6kmで

歩いたということがわかります。

 

太郎君の速さがわかったので、太郎君が3km地点を出発した

時刻(下の図2の時刻D)がわかります。

太郎君は3kmから9kmの6kmを時速6kmで歩くので、

1時間かかり、時刻D=10時 です。

 

この先の解き方は色々あると思いますが、今回は以下のように

解きたいと思います。

 

下の図3のように、太郎君がA町からずっと時速6kmで歩いて

11時にB町に着いたとすると、

太郎君がA町を出発する時刻E は、9時30分です。

 

このとき、太郎君と、A町に10時45分に着く次郎君が

出会う時刻F をはさんで、グラフ上に二等辺三角形ができます。

すなわち、時刻F から9時30分までと、時刻F から10時45分

までは同じ時間です。

 

よって、時刻F は、

 9時30分 + (10時45分 - 9時30分) ÷ 2

=10時7分30秒 とわかります。

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2015年2月24日 (火)

競走のタイム順は?(海城中学 2007年)

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 A,B,C,D,E,Fの6人で1500m走をしました。

次の①~⑥のことがわかっています。

①A,B,Cの3人の平均タイムは6分55秒でした。

②C,D,Eの3人の平均タイムは7分3秒でした。

③B,Fの2人の平均タイムは6分51秒でした。

④BとCのタイム差は34秒ありました。

⑤BはFより速いタイムで、Eよりはおそいタイムでした。

⑥全員の平均タイムは7分1秒でした。

(1)Aのタイムは何分何秒ですか。

(2)Cのタイムは何分何秒ですか。

(3)6人を速い順に左からならべなさい。

Hasiru

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 (1)⑥より、全員のタイムの合計は、

7分1秒×6=42分6秒

 

②、③より、B,C,D,E,Fの5人のタイムの合計は、

7分3秒×3+6分51秒×2=21分9秒+13分42秒

                 =34分51秒

よって、Aのタイムは、

 42分6秒-34分51秒=41分66秒-34分51秒

               =7分15秒 と求められます。

 

 (2)①と④、(1)より、BとCの2人のタイムの合計は、

6分55秒×3-7分15秒=18分165秒-7分15秒

                =11分150秒=13分30秒

 

 BとCのタイム差が34秒なので、B,Cのタイムは、

★(13分30秒-34秒)÷2=12分56秒÷2=6分28秒

★6分28秒+34秒=7分2秒

 このどちらか、ということになります。

 

B,Cがどちらが速いかが問題になりますが、ここで、

③、⑤より、BはFより速く、平均タイムが6分51秒ということから、

Bのタイムは6分51秒より速いことがわかるので、

6分28秒がBのタイムで、Cのタイムは7分2秒とわかります。

 

 (3) (2)よりFのタイムは、7分14秒とわかります。

 

ここまでのタイムをまとめると、

 A・・・7分15秒

 B・・・6分28秒

 C・・・7分2秒

 D・・・?

 E・・・⑤より、Bより速い

 F・・・7分14秒

となっています。

 

②より、C,D,Eの3人の平均タイムが7分3秒なので、

下の図のように、

C,D,Eの平均が7分2秒になるには、DはAの7分15秒より

おそいタイムである必要があります。

 

すると、速い順に6人をならべると、

 E → B → C → F → A → D となります。

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2014年9月 7日 (日)

♪どちらが先にかけつくか?♪

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A君とB君は100m競争をしました。A君がゴールしたとき、B君は95mのところにいました。そこでB君はA君に言いました。

「もう一度競争しよう。だけど、今度はA君はぼくの5m後ろからスタートしてほしい」

さて、2人は同時にゴールするでしょうか?

720

考え方と答え

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2014年8月11日 (月)

おもちゃの列車の速さは?(早稲田大学高等学院中等部 2012年)

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おもちゃの列車を走らせるために,図のような周回できるレールを敷きました。このレールの上を列車が一定の速さで,次の条件をみたしながら走っています。

・列車が鉄橋を渡り始めてから渡り終わるまでに18.6秒かかる。
・列車が鉄橋の下を通過するのに15秒かかる。
・列車が鉄橋の下を通過し終わってから,初めて鉄橋にさしかかるまでに88秒かかる。
・列車が鉄橋を渡り終わってから,初めて鉄橋の下を通過し終わるまでに103.4秒かかる。

鉄橋の長さは43.2cmで,鉄橋の幅は考えないものとします。この列車の速さは毎秒①cm,列車の長さは②cmです。また,レール1周の長さは③cmです。

1

図解と解法例はこちらに!

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2014年7月12日 (土)

速さの比を考える旅人算(ラ・サール中学 2008年)

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ある人が 3.2km離れた場所へ向かって歩きはじめました。4分の1だけ進んだところから速さを 5分の1減らして歩いたところ、予定より10分おくれて着きました。このとき、次の問に答えなさい。

(1)速さを減らしたあとは、速さを減らす前と比べて、同じ距離を進むのにかかる時間は何倍になりますか。

(2)速さを減らしてから何分で着きましたか。

(3)はじめの速さは時速何kmですか。

Ilm19_aa01006s

考え方と解法例

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2014年6月24日 (火)

旅人算

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ある公園の中に1周○○mのジョギングコースがあり、
A君とB君が同じ方向に一定の速度で走っています。
A君は8分ごとにB君を追い越しています。
A君が今より時速3km速く走ると6分ごとに追い越します。 ジョギングコースは1周何mですか?

Sokudo0

「これ、どうやって解いたの?」

「8分と6分だから8:6で4:3、距離は逆比だから3:4、

差の1に当たるのが3km。だから3は3倍の時速9kmになる。

時速9kmは1分だと150m、8分だと1200mになる」

「答えは合っているみたいだけど、何か変・・・」

「そうなんだ。A君が1200mのコースを8分で1周したら、

B君も走っているわけだから、追い越せないよね。

だから間違ってると思って消して考えていたら、

わからなくなっちゃって・・・」

「解答のイメージはこうだけど」

静止画解答はコチラ

「時速9kmってA君の速さじゃないのでは?」

「じゃあ何?」

「A君とB君の速さの差でしょ。それが時速9kmから12kmになったって考えてみれば?」

「よくわからない」

「チーターが時速120kmで走っていて、新幹線が時速129kmで走っていても、差は時速9kmだから、8分で1200mの差がつくっていうこと」

「チーターは8分も全力で走れないよ」

「たとえばの話!」

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速さの差(SAPIX入室、組分けテストより)

速さの和(SAPIX 7月復習テストより)

公園の旅人算(SAPIX 7月復習テストより)

速さの比(四谷大塚 合不合判定予備テストより)

速さと比のつづき(四谷大塚 合不合判定予備テストより)

速さとグラフ(SAPIX サマーサポートより)

速さの比較(SAPIXサマーサポートより)

走る速さの比(SAPIX 夏期算数より)

円周上をまわる2点の速度と比 (四天王寺中学 受験算数問題 2007年)

速さと周期算(麻布中学 受験算数問題 2009年)

流水算と旅人算(Sapix 10月マンスリーテストより)

時間、道のり、距離(Sapix 10月マンスリーテストより)

速さの差(Sunday Sapixより)

速さと旅人算(第3回 四谷大塚 合不合判定テストより)

速さと比(東海中学 受験算数問題 2009年)

A町~B町までの距離(中学受験算数 速さ)

3人の旅人(中学受験算数 旅人算)

旅人算の基本パターン

向かい合う旅人(中学受験算数 時間差出発だ問)

平均の速さ(はやとちりした問)

走った時間は?(中学受験算数 意味がわからなかった問)

歩幅と歩数(中学受験算数 逆比になる問)

「は・じ・き」をしっかり!(中学受験算数 はじき、だ問)

距離の単位がない(中学受験算数 単位がない問)

A地~B地(中学受験算数 グラフと速さ)

速さと道のり(開成中学 2006年算数入試問題)

途中で速さが変わる(中学受験算数 速さ)

3点が正三角形になるのは?(中学受験算数 速さ)

家から学校までの道のりは?(中学受験算数 速さ)

バスに乗っていた時間は?(中学受験算数 速さ)

歩く速さが変わる問題(中学受験算数 速さ)

通過算+旅人算(中学受験算数 速さ)

ややこしい速さの問題(中学受験算数 速さ)

誰がいちばん速い?(慶應義塾中等部 2010年)

時間が同じ場合の速さと距離(智弁学園和歌山中学 2010年)

歩く速さは?(筑波大付属中学 2010年)

歩幅の比、歩数の比(立教池袋中学 2010年)

旅人算の応用問題(海城中学 2009年)

動く歩道(浦和明の星女子中学 2011年)

速さの比(帝塚山中学 2010年)

兄と弟の速さ(弘学館中学 2010年)

自転車の速さ(立教池袋中学 2010年)

兄と弟の速さ(神戸女学院中等部 2010年)

2人の速さは?(渋谷教育学園幕張中学 2008年)

コースの長さは?(雙葉中学 2011年)

信号までの距離(渋谷教育学園渋谷中学 2010年)

速さと比(市川中学 2010年)

速さと比(奈良学園中学 2008年)

マラソンコースの長さ(関西学院中学 2010年)

2回目に出会うのは?(六甲中学 2010年)

へだたりと時間のグラフ(明治大学付属明治中学 2011年)

文章題の条件整理力を!(慶應義塾湘南藤沢中等部 2012年)

池の周りの長さは?(鴎友学園女子中学 2011年)

旅人算の基本問題(茗渓学園中学 2010年)

旅をするがらがらどん(武蔵中学 2011年)

旅人算+和差算(暁星中学 2012年)

速さの比を使う旅人算(開智中学 2009年)

2014年6月 5日 (木)

自転車の速さは歩きの何倍か?(フェリス女学院中学 2012年)

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花子さんは A町から B町まで行きました。A町を自転車に乗って出発し、64分間乗りましたが、残りの道のりが全体の 1/5 のところで自転車が故障しました。その後 72分間歩いて B町に着きました。花子さんが自転車に乗っていたときの速さは、歩いていたときの速さの何倍ですか。

Ilm13_aa08004s

考え方と解法例

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2014年4月 5日 (土)

自転車の速さは歩きの何倍か?(フェリス女学院中学 2012年)

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花子さんは A町から B町まで行きました。A町を自転車に乗って出発し、64分間乗りましたが、残りの道のりが全体の 1/5 のところで自転車が故障しました。その後 72分間歩いて B町に着きました。花子さんが自転車に乗っていたときの速さは、歩いていたときの速さの何倍ですか。

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考え方と解法例

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2014年4月 3日 (木)

親子で解いた2点の移動問題(SAPIX 復習テストより)

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「3点の移動じゃなくて、2点移動だから、

やさしいかなと思ったら、もっとムズかった」

長方形ABCDがあり、EFは 辺ADに平行です。点PはEを、点QはBを同時に出発して、点Pは秒速14cmでEF上を、点Qは秒速9cmでBC上をそれぞれ一往復します。
(1)点A、P、Qがはじめて一直線上に並ぶのは、2つの点が出発してから何秒後ですか?
(2)△APQの面積がはじめて168c㎡になるのは、2つの点が出発してから何秒後ですか?
(3)△APQの面積が2回目に168c㎡になるのは、2つの点が出発してから何秒後ですか?

Ten0

「実際に2点が動く様子をイメージしてみて」

1

「した」

親子で考えた解法例とアニメーション

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