計算力が試される図形問題（渋谷教育学園渋谷中学 ２０１２年）

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下の図は１辺が２．６ｃｍの正三角形を組み合わせた後、周囲を曲線 で囲んだものです。曲線は円周の一部を組み合わせたものであり、その中心はすべて正三角形の頂点で、その半径は正三角形の１辺と同じまたは２倍になってい ます。斜線部の面積は何ｃ㎡ですか。円周率は３．１４とします。

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図のように黄色部分を緑部分に移動すると、

半径が１辺で中心角６０゜のおうぎ形が６個

半径が２辺で中心角６０゜のおうぎ形が３個

の合計になります。

２．６×２．６×３．１４×３６０/３６０＋

２×２．６×２×２．６×３．１４×１８０/３６０

＝２．６×２．６×３．１４＋２×２．６×２．６×３．１４

＝（２．６×２．６×３．１４）×（１＋２）

＝２．６×２．６×３．１４×３

＝６３．６７９２ｃ㎡

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折った部分の面積は？（青山学院中等部 ２００７年）

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直角三角形ABCを図のように２回折りました。斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか。

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斜線部分の三角形の面積を①とすると、

底辺の長さ比から、

各三角形の面積は図のようになります。

三角形ABCの面積が、６×８÷２＝２４ｃ㎡なので、

①＝２４÷８＝３ｃ㎡　です。

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台形をニ等分する直線（女子学院中学 ２０１３年）

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図のような台形ＡＢＣＤ があります。

（１）頂点Ａ を通る直線を引いて台形の面積を半分に分けます。直線が辺ＢＣ と交わる点をＥ とするとき、ＢＥ の長さ何ｃｍですか。

（２）頂点Ｂ を通る直線を引いて台形の面積を半分に分けます。直線が辺ＣＤ と交わる点をＦ とするとき、ＣＦ の長さは何ｃｍですか。

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（１）三角形ＡＢＥ の面積　＝　底辺　×　高さ　÷　２

　　 台形ＡＥＣＤ の面積　＝　（上底＋下底）　×　高さ　÷　２

と表すことができますが、ここで、高さは共通しているので、

三角形ＡＢＥ の底辺の長さ　＝　台形ＡＥＣＤ の 上底＋下底の長さ

となればよいのです。

ＡＤ＝８ｃｍ、ＢＣ＝１４ｃｍ　あわせて２２ｃｍ　なので、

底辺の長さはその半分で、

ＢＥ の長さ＝２２÷２＝１１ｃｍ となります。

（２）頂点Ｂを通り、

台形ＡＢＣＤ の面積を２等分する線を考えます。

三角形ＡＢＤ と三角形ＢＣＤ の面積比は、高さが等しいので

底辺の比となり、８　：　１４　です（下の図１）

　

ＢＦ は台形を２等分するので、台形の面積を ８＋１４＝２２

とすると、三角形ＢＣＦ の面積＝２２÷２＝１１です。

下の図２のように、

　

三角形ＢＦＤ ： 三角形ＢＣＦ ＝　③　：　⑪　になれば

ＢＦ は台形ＡＢＣＤ の面積を２等分するので、点Ｆ の位置は、

辺ＣＤ を　３　：　１１　に分ければよく、

　 ＣＦ ＝ ７×１１/１４＝５．５ｃｍ

になります。

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重なった円と正三角形（ラ・サール中学 ２００８年）

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三角形ABCは正三角形です。円は３つとも半径が３ｃｍです。

斜線部分の周の長さと、面積をそれぞれ求めなさい。

ただし、円周率は３．１４とします。

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青＋赤＝青＋緑　なので、

周の長さは円周の１/３の４つ分です。

３×２×３．１４×１/３×４＝２５．１２ｃｍ

黄色部分を水色部分に移動すると、

求める面積は円の２/３になります。

３×３×３．１４×２/３＝１８．８４ｃ㎡

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この中学ではよく出題される面積比問題（桐光学園中学 ２０１０年）

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図のように、１辺が１０ｃｍの正方形ABCDの辺AB上に点EをBE＝７ｃｍ、辺DC上に点FをCF＝５ｃｍとなるようにとります。このとき、斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか。

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△黄と△水色は相似で相似比は７：５なので、

△緑と△水色の面積比も７：５になります。

△緑＝１０×５÷２×７/（７＋５）＝１４と７/１２ｃ㎡

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正六角形と面積比 （白百合学園中学 2004年）

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正六角形があり、各頂点を線で結び、さらに交点どうしを線で結んで、

下図のように色をつけました。

色の付いた部分と、元の正六角形の面積比を求めなさい。　　　　　　　　

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正六角形の１つの角度は１２０°です。下図の３つの青い三角形は

合同なので、３つの青い三角形に囲まれた三角形は正三角形です。

　　　　

同様に、もう１つ正三角形を見つけられます。

青い三角形は、二等辺三角形で、正六角形のひとつの角度が

１２０°なことから、３０°、３０°、１２０°の二等辺三角形と

いうことがわかります。

　　　　

すると、上図の６個の赤い三角形は、すべての角度が６０°

なので正三角形で、６個の正三角形に囲まれた六角形は

正六角形ということがわかります。

　　　　

上図で、緑の正三角形と、黄色い二等辺三角形は、

底辺の長さが等しいので、面積が同じといえます。

下図のように、内側の正六角形に線を引くと、

　　　　

内側の正六角形内部に６つの正三角形ができ、

これも同じ面積なので、正六角形は１８個の同じ面積の

三角形に分割され、黄色い部分はそのうちの６個分ですから、

元の正六角形の面積を１とすると、６/１８＝１/３の面積です。

内側の正六角形も６/１８＝１/３の面積です。

　　　　　　　　　

先ほどの図で、緑の部分と黄色の部分が入れ代わった

ものですが、黄色い部分の面積は、内側の正六角形の６/１８です。

よって、この部分の面積は、元の正六角形の面積の

６/１８ × ６/１８＝１/９　の面積です。

よって、合計すると、黄色い部分の面積は、

１/３ ＋ １/９ ＝ ４/９　の面積です。

よって、黄色い部分の面積：正六角形の面積

＝４/９ ： １＝４：９　　となります。

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１：２の直角三角形 （城北中学 2009年）

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長方形ＡＢＣＤ の辺ＢＣ 上に点Ｐ をとり、

ＡＰ を折り目として折ったところ、

頂点Ｂ が辺ＣＤ のまん中の点Ｅ と重なりました。

このとき、角ＣＰＥ の大きさを求めなさい。

　　　　　　

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　点Ｅ がＣＤ のまん中の点なので、下の図のように、三角形ＡＤＥ

において、ＤＥ ： ＡＥ ＝ １ ： ２ ということがわかり、このような

直角三角形は、正三角形の半分の三角定規の三角形です。

　　　　　　

よって、角ＡＥＤ ＝６０度 とわかり、角ＰＥＣ＝３０度より、

角ＣＰＥ ＝６０度 と求められます。

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等積変形すると・・・（筑波大学附属中学 2002年）

（１）図１のように、同じ大きさの長方形を２つ並べます。

　次に、図２のように、片方の長方形の中に、

　ひとつの頂点が重なるように平行四辺形を描くと、

　①の部分の面積が２ｃ㎡  、②の部分の面積が１５ｃ㎡ 、

　③の部分の面積が７ｃ㎡  になりました。

　このとき、ＡＢの長さとＢＣの長さの比を求めなさい。

　

（２）図３のように、図２に描いたものと同じ平行四辺形を

もう一方の長方形にも描き、ＢＥが直線になるようにしました。

このとき、ＤＥの長さとＥＦの長さの比を求めなさい。

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　（１）図２は、下の図４のように等積変形できます。

　　　 

②の部分は④と⑤の部分に分けると、

①：２ｃ㎡、②：１５ｃ㎡、③：７ｃ㎡、から、２つの長方形の面積の和が

２＋１５＋７＝２４ｃ㎡  とわかるので、１つの長方形の面積は、１２ｃ㎡

とわかります。よって、④の部分の面積＝１２ｃ㎡  なので、

⑤の部分の面積＝１５－１２＝３㎡  です。

　

　よって、ＡＢの長さ：ＢＣの長さ＝⑤の面積：①＋③の面積

＝３：９＝１：３  となります。

　

　（２）図３は、下の図５のように面積を振り分けることができ、

等積変形すると、図６のようになります。

　　　 

（１）から、長方形の面積は１２ｃ㎡ と求めているので、

図の⑥の部分の面積＝１２－（２×４＋３）＝１ｃ㎡  とわかります。

　

よって、ＤＥの長さ：ＥＦの長さ＝１２－１：１＝１１：１ とわかります。

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長さの比は？（広島学院中学 2009年）

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下の図のような四角形ＡＢＣＤがあり、その面積は３８４ｃ㎡、

ＡＤ＝２０ｃｍ、角ＡＤＣ＝９０度です。

ＣからＡＤと平行な線を引きＡＢとの交点をＥ  とします。

次に、ＡＦ：ＦＥ＝２：３となるようにＡＢ上に点Ｆをとると、

ＡＦ：ＥＢ＝１：２となり、三角形ＤＥＦの面積が７２ｃ㎡  になりました。

このとき次の問に答えなさい。

　　　

（１）ＡＥ：ＥＢ  の長さの比を求めなさい。

（２）ＣＤの長さを求めなさい。

（３）三角形ＡＣＤの面積と三角形ＡＥＧの面積が等しくなるように

　　  ＢＣ上に点Ｇをとるとき、ＢＧ：ＧＣ  の長さの比を求めなさい。

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　（１）ＡＦ：ＦＥ＝２：３、ＡＦ：ＥＢ＝１：２なので、

　　　  ＡＦ：ＥＢ＝２：４とすると、ＡＥ：ＥＢ＝２＋３：４＝５：４  となります。

　

　（２）ＡＦ：ＦＥ＝２：３なので、下の図１のように、

三角形ＡＤＦの面積：三角形ＤＥＦの面積＝２：３  ということになり、

三角形ＤＥＦの面積＝７２ｃ㎡  なので、三角形ＡＤＦの面積＝４８ｃ㎡

と求められます。

　　　

すると、三角形ＡＤＥの面積＝７２＋４８＝１２０ｃ㎡  となり、

三角形ＡＤＥの面積＝ＡＤ×ＣＤ÷２ より、

　ＣＤの長さ＝１２０×２÷２０＝１２ｃｍ  と求められます。

　

　（３）ＢＧ：ＧＣを求める

　　　　　→三角形ＡＢＧ：三角形ＡＣＧの面積比を求めればよい

　と考えます。

　　

三角形ＡＣＤの面積と三角形ＡＥＧの面積は１２０ｃ㎡  で、

ＡＥ：ＥＢ＝５：４なので、三角形ＡＥＧ：三角形ＢＥＧの面積比＝５：４

ということになります。

　　　

よって、三角形ＢＥＧの面積は９６ｃ㎡  とわかり、上の図２より、

三角形ＡＣＧの面積は、

　四角形ＡＢＣＤから三角形ＡＣＤと三角形ＡＢＧを除いたもので、

３８４－（１２０＋１２０＋９６）＝４８ｃ㎡  と求められます。

　

すると、三角形ＡＢＧと三角形ＡＣＧの面積比は、

　１２０＋９６ ： ４８＝９：２  となるので、

これは下の図３のようにＢＧ：ＧＣ と等しく、

　　　

　ＢＧ：ＧＣ＝９：２ と求められます。

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等脚台形の性質

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下の図のような台形ＡＢＣＤがあり、同じ印の辺の長さは同じです。

このとき、ＡＯの長さを答えなさい。

また、三角形ＡＢＯと台形ＡＢＣＤの面積比を答えなさい。

　　 

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　台形ＡＢＣＤは等脚台形なので、角Ｂ＝角Ｃです。

また、ＢＡ，ＣＤを延ばし、交点をＥ  とすると、下の図のように

三角形ＥＡＤと三角形ＥＢＣは相似で、

　　

相似比＝ＡＤ：ＢＣ＝１：２  となり、ＡＢ＝５ｃｍなので、

ＥＡ＝ＥＤ＝５ｃｍと求められ、このことから三角形ＥＡＤは正三角形

ということがわかります。

　

よって、三角形ＥＢＣも正三角形なので、角Ｂ＝角Ｃ＝６０度です。

　

三角形ＡＢＯは二等辺三角形で、角Ｂ＝６０度なので、

三角形ＡＢＯも正三角形とわかり、このことから、ＡＯ＝５ｃｍ

とわかります。

　

なお、同様にＯＤ＝５ｃｍということも求められ、

三角形ＡＯＤ、三角形ＤＯＣも正三角形で、

三角形ＡＢＯと台形ＡＢＣＤの面積比＝１：３  とわかります。

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