テトリスのような立方体ブロックパズル（金蘭千里中学 2011年）
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１辺の長さが２ｃｍの立方体がいくつかあります。
この立方体の面と面をくっつけていき、新しい立体を作ります。
たとえば、３個の立方体を使う場合は、下の図の２種類の立体を作ることができます。
回転させると同じ立体になるものは１つの立体として考えるものとして、
次の問に答えてください。
（１）２個の立方体を使ってできる立体の表面積は何ｃ㎡ですか。
（２）４個の立方体を使ってできる立体は何種類ありますか。
また、それらのうち、表面積が最も小さいものは何ｃ㎡ ですか。
（３）７個の立方体を使ってできる立体のうち、表面積が最も小さいものは何ｃ㎡ ですか。
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こたえ
（１）１辺２ｃｍの立方体を２個使ってできる立体は、
下の図１の立体のみです。
この立体の表面積は、 面積が ２×２ の面が２面、
４×２ の面が４面 なので、
２×２×２＋４×２×４＝ ４０ｃ㎡ です。
（２）テトリスというゲームをご存知でしょうか？
テトリスというのは、立方体４個から作られるブロックを
積んでいくというゲームです。
それを参考に、４個の立方体を使ってできる平面的な立体は、
下の図２の①～⑤の５種類になります。（⑤と⑥は同じ）
図２は平面的な立体でしたが、立体的な立体（？）も作れます。
それが、下の図３に示した３種類です。
気をつけたいのは、⑦と⑧は同じではないことです。
回転させても重なりません。
よって、４個の立方体を使ってできる立体は、
３＋５＝８種類
と、普通は考えて、答えも正しいのですが・・・
少し別な視点で考えてみると、以下のようになります。
立方体を４個使うということは、立方体３個を使ってできる
立体に、さらに１個立方体を加える、と考えることができます。
３個の立方体を使ってできる立体は、問題文にあるように
２種類です。この２種類に立方体を１個加えると、下の図４
のように、それぞれ３種類と５種類作ることができます。
よって、作ることができる立体は、３＋５＝８種類 です。
次に、この８種類のうち、表面積が最も小さいものを探します。
表面積は、接着面が多いほど小さくなっていきます。
①、②、③は同じ表面積です（接着面が３か所）
④は接着面が４か所 なので、より表面積が小さいです。
⑤、⑥、⑦、⑧、⑨も接着面が３か所です。
よって、表面積が最も小さいのは、④の立体で、その表面積は、
４ｃｍ×４ｃｍ の面が２面、２ｃｍ×４ｃｍ の面が４面あり、
４×４×２＋２×４×４＝６４ｃ㎡ です。
（３）７個の立方体を使ってできる、表面積の小さい立体として
思いつくものは、どんなものがあるでしょうか。
下の図５のような立体を思いつくかもしれません。
しかし、これは中央の立方体は６面すべて接着していますが、
周りの６個は、色のついた１つの面でしか接着していません。
そこで、１つの面でしか接着していない立方体を、図６のように
移動させると、２つの面で接着するので、
接着面を１面増やすことができ、
図６のように２つなら２面増やすことができます。
これ以上、表面積を小さくすることはできるでしょうか？
さらに表面積を小さくすることを考えると、
下の図７のように、
２面→３面（黄→水色）に接着面を増やすことができます。
図７の立体が、最もコンパクトな形で、
これ以上接着面を増やすことはできず、
その表面積は、１辺４ｃｍの立方体の表面積に
等しく、４×４×６面＝９６ｃ㎡ です。
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