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2019年10月 8日 (火)

2019年10月 8日 (火)

テトリスのような立方体ブロックパズル(金蘭千里中学 2011年)

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1辺の長さが2cmの立方体がいくつかあります。

この立方体の面と面をくっつけていき、新しい立体を作ります。

たとえば、3個の立方体を使う場合は、下の図の2種類の立体を作ることができます。

回転させると同じ立体になるものは1つの立体として考えるものとして、

次の問に答えてください。

     Pic_2479q

(1)2個の立方体を使ってできる立体の表面積は何c㎡ですか。

(2)4個の立方体を使ってできる立体は何種類ありますか。

         また、それらのうち、表面積が最も小さいものは何c㎡ ですか。

(3)7個の立方体を使ってできる立体のうち、表面積が最も小さいものは何c㎡ ですか。

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こたえ

(1)1辺2cmの立方体を2個使ってできる立体は、

下の図1の立体のみです。

         Pic_2480a

この立体の表面積は、 面積が 2×2 の面が2面、

4×2 の面が4面 なので、

2×2×2+4×2×4= 40c㎡ です。

 
(2)テトリスというゲームをご存知でしょうか?

テトリスというのは、立方体4個から作られるブロックを

積んでいくというゲームです。

それを参考に、4個の立方体を使ってできる平面的な立体は、

下の図2の①~⑤の5種類になります。(⑤と⑥は同じ)

Pic_2481a

図2は平面的な立体でしたが、立体的な立体(?)も作れます。

それが、下の図3に示した3種類です。

    Pic_2482a

気をつけたいのは、⑦と⑧は同じではないことです。

回転させても重なりません。

 
よって、4個の立方体を使ってできる立体は、

3+5=8種類

と、普通は考えて、答えも正しいのですが・・・

少し別な視点で考えてみると、以下のようになります。

 
立方体を4個使うということは、立方体3個を使ってできる

立体に、さらに1個立方体を加える、と考えることができます。

 
3個の立方体を使ってできる立体は、問題文にあるように

2種類です。この2種類に立方体を1個加えると、下の図4

のように、それぞれ3種類と5種類作ることができます。

  Pic_2483a

よって、作ることができる立体は、3+5=8種類 です。

 
次に、この8種類のうち、表面積が最も小さいものを探します。

表面積は、接着面が多いほど小さくなっていきます。

 
①、②、③は同じ表面積です(接着面が3か所)

④は接着面が4か所 なので、より表面積が小さいです。

⑤、⑥、⑦、⑧、⑨も接着面が3か所です。

 
よって、表面積が最も小さいのは、④の立体で、その表面積は、

4cm×4cm の面が2面、2cm×4cm の面が4面あり、

4×4×2+2×4×4=64c㎡ です。

(3)7個の立方体を使ってできる、表面積の小さい立体として

思いつくものは、どんなものがあるでしょうか。

下の図5のような立体を思いつくかもしれません。

しかし、これは中央の立方体は6面すべて接着していますが、

周りの6個は、色のついた1つの面でしか接着していません。

 Pic_2484a

そこで、1つの面でしか接着していない立方体を、図6のように

移動させると、2つの面で接着するので、

接着面を1面増やすことができ、

図6のように2つなら2面増やすことができます。

  
これ以上、表面積を小さくすることはできるでしょうか?

さらに表面積を小さくすることを考えると、

下の図7のように、

2面→3面(黄→水色)に接着面を増やすことができます。

    Pic_2485a

図7の立体が、最もコンパクトな形で、

これ以上接着面を増やすことはできず、

その表面積は、1辺4cmの立方体の表面積に

等しく、4×4×6面=96c㎡ です。

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