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2018年3月29日 (木)

水の深さは何cm?(今年 2018年 甲陽学院中学)

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水平な台の上に深さ 20cm の円柱形の容器を置き、

深さが8cm になるまで水を入れます。

次に、円柱の棒を何本か、図のように容器の底に垂直に立てます。

棒の高さはすべて20cm で、底面の半径はすべて同じです。

棒を3本立てたとき、水の深さは9cm になりました。

3291_2

(1)さらに棒を6本立てて、全部で9本立てると、

  水の深さは何cmになりますか?

(2)容器から水があふれないように、

  できるだけたくさんの棒を立てます。

  全部で棒を何本立てることができますか?

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3292

最初の深さに入った棒の緑部分は、

押しのけた黄色部分の水の量と等しくなります。

容器の底面積をA、棒の底面積をBとすると、

3×B×8=1×(A-3×B)

24×B=A-3×B

A=27×B

つまり、容器の底面積は棒の底面積の27倍ということになります。

(1)増えた水の深さを□cmとすると、

9×B×8=□×(A-9×B)

72×B=A×□-9×B×□

A=27×B なので、

72×B=27×B×□-9×B×□

72×B=18×B×□

72=18×□

□=4

水の深さは、8+4=12cm

(2)水の深さが20cmになることを考えます。

棒の本数を△とすると、

B×△×8=(A-B×△)×12

B×△×8=A×12-B×△×12

A=27×B なので、

B×△×8=B×324-B×△×12

B×△×20=B×324

△×20=324

△=16.2 より、

最大で、16本


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