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2018年1月21日 (日)

いくつの正方形を通る?(今年、2018年 甲陽学院中学)

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下の図のように正方形を縦に2個、横に4個並べて長方形を作り、

1本の対角線を引くと、対角線は4個の正方形の中を通ります。

1211

次のように正方形を並べて長方形を作り、1本の対角線を引いたとき、

対角線はいくつの正方形の中を通りますか。

ただし、正方形は一番小さなものだけを数えます。

(1)縦に13個、横に17個並べたとき

(2)縦に2018個、横に9081個並べたとき

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(1)

1212

縦の線を1本横切るごとに、新しい正方形を通ります。

また、横の線を1本越えるごとに、新しい正方形を通ります。

両サイドの縦線を除く縦線の数は17-1=16本

上下の横線を除く横線の数は、13-1=12本

線が通る正方形の数は、16+12=28

最初の正方形をたして、28+1=29個です。

(2)

例のように、縦線と横線の交点を通る場合は、

長方形を分けて考えます。

例の場合は、縦1個、横2個の長方形が、

縦2個、横2個、最大公約数分並んだ長方形として考えます。

縦1個、横2個の長方形は、

(1-1)+(2-1)+1=2個の正方形を通るので、その2つ分、

2×2=4個の正方形を通ります。

2018=2×1009

9081=9×1009 なので、

2×9の長方形を考えると、

1213

(2-1)+(9-1)+1=10個の正方形を通ります。

1214

それが1009個あるので、

全部で、10×1009=10090個の正方形を通ります。


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