いくつの正方形を通る？（今年、２０１８年 甲陽学院中学）

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下の図のように正方形を縦に２個、横に４個並べて長方形を作り、

１本の対角線を引くと、対角線は４個の正方形の中を通ります。



次のように正方形を並べて長方形を作り、１本の対角線を引いたとき、

対角線はいくつの正方形の中を通りますか。

ただし、正方形は一番小さなものだけを数えます。

（１）縦に１３個、横に１７個並べたとき

（２）縦に２０１８個、横に９０８１個並べたとき

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（１）

縦の線を１本横切るごとに、新しい正方形を通ります。

また、横の線を１本越えるごとに、新しい正方形を通ります。

両サイドの縦線を除く縦線の数は１７－１＝１６本

上下の横線を除く横線の数は、１３－１＝１２本

線が通る正方形の数は、１６＋１２＝２８

最初の正方形をたして、２８＋１＝２９個です。

（２）

例のように、縦線と横線の交点を通る場合は、

長方形を分けて考えます。

例の場合は、縦１個、横２個の長方形が、

縦２個、横２個、最大公約数分並んだ長方形として考えます。

縦１個、横２個の長方形は、

（１－１）＋（２－１）＋１＝２個の正方形を通るので、その２つ分、

２×２＝４個の正方形を通ります。

２０１８＝２×１００９

９０８１＝９×１００９　なので、

２×９の長方形を考えると、

（２－１）＋（９－１）＋１＝１０個の正方形を通ります。

それが１００９個あるので、

全部で、１０×１００９＝１００９０個の正方形を通ります。

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