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2017年1月26日 (木)

切断された正三角形の枚数は?(今年、2017年 洛星中学)

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正三角形の板をすきまなく並べて平行四辺形をつくり、

2本の対角線のうち長い方の線で切断します。

図は、5列3段に並べたときで、

切断された正三角形の板の枚数は14枚です。


1263

(1)9列4段に並べたとき、

   切断された正三角形の板の枚数は何枚ですか。

(2)41列17段に並べたとき、

   切断された正三角形の板の枚数は何枚ですか。

(3)189列84段に並べたとき、

   切断された正三角形の板の枚数は何枚ですか。

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対角線が、列の境線を横切るとき、

左右に2つの正三角形を切断し、

対角線が、段の境線を通るとき、

上下に2つの正三角形を切断していることがわかります。

5列3段のとき、5-1=4本の列線と

3-1=2本の段線を通過するので、

4×2+2×2=12枚の正三角形を切断しています。

最初と最後の正三角形2つを加えて、

合計、14枚の正三角形を切断しています。

(1)(9-1)×2+(4-1)×2+2=24枚

(2)(41-1)×2+(17-1)×2+2=114枚

(3)この枚数は注意が必要です。

189列84段の平行四辺形は、

9列4段の平行四辺形が、縦に21個、横に21個つながったものです。

したがって、9列4段の平行四辺形の対角線が21回同じように

正三角形を切断することになるので、

合計切断枚数は、24×21=504枚です。

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