切断された正三角形の枚数は？（今年、２０１７年 洛星中学）

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正三角形の板をすきまなく並べて平行四辺形をつくり、

２本の対角線のうち長い方の線で切断します。

図は、５列３段に並べたときで、

切断された正三角形の板の枚数は１４枚です。

（１）９列４段に並べたとき、

　　　切断された正三角形の板の枚数は何枚ですか。

（２）４１列１７段に並べたとき、

　　　切断された正三角形の板の枚数は何枚ですか。

（３）１８９列８４段に並べたとき、

　　　切断された正三角形の板の枚数は何枚ですか。

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対角線が、列の境線を横切るとき、

左右に２つの正三角形を切断し、

対角線が、段の境線を通るとき、

上下に２つの正三角形を切断していることがわかります。

５列３段のとき、５－１＝４本の列線と

３－１＝２本の段線を通過するので、

４×２＋２×２＝１２枚の正三角形を切断しています。

最初と最後の正三角形２つを加えて、

合計、１４枚の正三角形を切断しています。

（１）（９－１）×２＋（４－１）×２＋２＝２４枚

（２）（４１－１）×２＋（１７－１）×２＋２＝１１４枚

（３）この枚数は注意が必要です。

１８９列８４段の平行四辺形は、

９列４段の平行四辺形が、縦に２１個、横に２１個つながったものです。

したがって、９列４段の平行四辺形の対角線が２１回同じように

正三角形を切断することになるので、

合計切断枚数は、２４×２１＝５０４枚です。

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