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2016年12月23日 (金)

おうぎ形の上を転がる円 (女子学院中学 2014年)

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下の図のように、半径が12cmの扇形と、

大きさと形が同じである 三角定規2枚を組み合わせた図形を作り、

壁にぴったりつけました。

半径が1cmの円を、図のA のところからB のところまで、

この図形に沿って、はなれないように転がしたとき、

この円の通過した部分の面積を求めなさい。

Pic_3910q_2

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円の移動の様子は、左右対称なので、半分にすると

下の図1のようになります。

Pic_3911a

重要なのは図1の中の図2の部分で、

中心角30度の扇形となっています。

(円の中心が三角定規の辺の延長上に来るまで回転)

よって、円の通過した部分の面積は、

1×1×3.14+2×5×2+2×2×3.14×30/360×2

 +(14×14-12×12)×3.14×120/360

=(1+2/3+52/3)×3.14+20

=19×3.14+20=59.66+20

79.66c㎡

となります。

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