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2016年11月 3日 (木)

同じ虫に食べられた□はいくつ?(本郷中学 2009年)

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次の式の5つの□には、すべて同じ整数があてはまります。

その整数はいくつですか。

 

□×□×{(□-1)×(□+1)-□}=2009

975

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式はすべて「かけ算」でできているので、

2009が何の倍数なのかを考えます。

 

2009は・・・

奇数なので2の倍数ではない。

2+0+0+9=11なので、3の倍数ではない。

(3の倍数の見分け方は → こちら

奇数なので4の倍数ではない。

1の位が「9」なので、5の倍数ではない。

奇数なので6の倍数ではない。

2009÷7=287 となるので、7の倍数です。

次に、287は何の倍数なのかを調べます。

2009が2~6の倍数ではなかったので

287も2~6の倍数ではありません

287÷7=41 となり、41は素数(1と41以外では割り切れない)

なので、2009=7×7×41 だとわかります。

 

□×□×{(□-1)×(□+1)-□}=2009

□=7とすると、

(2個の□がある時点で、もう □=7 ですが)

確かめてみましょう。

7×7×{(7-1)×(7+1)-7}=7×7×41=2009

となり、式を満たすので、□=7です。

ちなみに、受験年度の数字の約数は事前に調べておいたほうがいいですね。

多くの中学で、その年度の数字を使った問題が出題されています。来年は2017!

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