５０を３個以下の整数の和で表すと？（第５回算数オリンピック、ファイナル問題より）

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ある整数を、０より大きい整数の和で表わす方法が

何とおりあるかを考えます｡

使う数が同じで順番だけが違うものは、１とおりに数えます｡

また一個の整数だけを使うものも、１とおりとして数えます。

０を使ってはいけません。

たとえば､６を３個以下の整数の和で表わす方法は、

　　　　６
　　　　５＋１
　　　　４＋２
　　　　３＋３
　　　　４＋１＋１
　　　　３＋２＋１
　　　　２＋２＋２

の７とおりあります。

では、50を３個以下の整数の和で表わす方法は、何とおりありますか。

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50を１個の整数で表わせば、50だけの１とおり。

２個の整数の和で表わすと、

　  1＋49
　　2＋48
　　3＋47

　　・・・・・

　　・・・・・

　　24＋26
　　25＋25

で、左側の列を見ると25とおりあることがわかります。

３個の整数の和で表す場合は、まず小さい数字では、

　　1＋1＋48
　　1＋2＋47

　　　・・・・・

　　　・・・・・

　　1＋23＋26
　　1＋24＋25

まん中の列を見ると24とおりあることがわかります。

次に２を先頭にすると、

　　2＋2＋46
　　2＋3＋45

　　・・・・・

　　・・・・・

　　2＋23＋25
　　2＋24＋24

で、23とおりあることがわかります｡

３を先頭にすると、

　　3＋3＋44
　　3＋4＋43

　　・・・・・

　　・・・・・

　　3＋22＋25
　　3＋23＋24

で、21とおり。

同様に４では２２とおり、５では18とおり、６では17とおり、

７では15とおり・・・と、

１、２、１、２という規則でへっています。

そこで２つずつペアにすると、

(24＋23)、(21＋20)、(18＋17)、……

＝47、41、35……と、６ずつへっていきます｡

したがって、この数字の並びの最後は、

35から６の倍数の30をひいた５で（３＋２）、

その１つ前は11で（６＋５）ということになります。

こんどは前と後ろをペアにしてみると、

(47＋5)、(41＋11)、(35＋17)、(29＋23)で、

すべて52になります｡

つまり、３個の整数の和で表わす方法は、

52×4＝208とおり、

３個以下の整数の和で表わす方法は、

１＋25＋208＝234　とおりです。

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