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2016年10月14日 (金)

50を3個以下の整数の和で表すと?(第5回算数オリンピック、ファイナル問題より)

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ある整数を、0より大きい整数の和で表わす方法が

何とおりあるかを考えます。

使う数が同じで順番だけが違うものは、1とおりに数えます。

また一個の整数だけを使うものも、1とおりとして数えます。

0を使ってはいけません。

たとえば、6を3個以下の整数の和で表わす方法は、


    6
    5+1
    4+2
    3+3
    4+1+1
    3+2+1
    2+2+2

 


の7とおりあります。


では、50を3個以下の整数の和で表わす方法は、何とおりありますか。

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50を1個の整数で表わせば、50だけの1とおり。

2個の整数の和で表わすと、

   1+49
  2+48
  3+47

  ・・・・・

  ・・・・・

  24+26
  25+25

で、左側の列を見ると25とおりあることがわかります。

3個の整数の和で表す場合は、まず小さい数字では、

  1+1+48
  1+2+47

   ・・・・・

   ・・・・・

  1+23+26
  1+24+25

まん中の列を見ると24とおりあることがわかります。

次に2を先頭にすると、

  2+2+46
  2+3+45

  ・・・・・

  ・・・・・

  2+23+25
  2+24+24

で、23とおりあることがわかります。

3を先頭にすると、

  3+3+44
  3+4+43

  ・・・・・

  ・・・・・

  3+22+25
  3+23+24

で、21とおり。

同様に4では22とおり、5では18とおり、6では17とおり、

7では15とおり・・・と、

1、2、1、2という規則でへっています。

そこで2つずつペアにすると、

(24+23)、(21+20)、(18+17)、……

=47、41、35……と、6ずつへっていきます。

したがって、この数字の並びの最後は、

35から6の倍数の30をひいた5で(3+2)、

その1つ前は11で(6+5)ということになります。

こんどは前と後ろをペアにしてみると、

(47+5)、(41+11)、(35+17)、(29+23)で、

すべて52になります。

つまり、3個の整数の和で表わす方法は、

52×4=208とおり、

3個以下の整数の和で表わす方法は、

1+25+208=234 とおりです。

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