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2015年9月 4日 (金)

2015年9月 4日 (金)

よく出題される立方体の切り口(自修館中等教育学校 2010年)

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1辺が 6cm の立方体があります。この立方体の各辺のまん中の点を下の図のように結んで、立方体の頂点をふくむ 8個の三角すいを切り取ります。このとき、残った立体について、次の問に答えなさい。

Pic_3526q

(1)この立体の面の数を答えなさい。

(2)この立体の体積を答えなさい。

(3)この立体を、図の3点ア、イ、ウ を通る平面で切ったとき、切り口の形を答えなさい。

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(1)この立体には、元の立方体の6面が残り、

切られた8個の三角すいの数と同じ数の正三角形の面があるので、

この立体の面の数は、6+8=14個 です。

(2)この立体の体積は、

6×6×6-3×3÷2×3÷3×8個=180c?

です。

(3)アイ と平行な線を ウ から引くと、

下の図1のように点エ を通ります。

線ウエを伸ばしていき、ア のある平面との交点をオとすると、

線アオは、立体の点カ を通ります。

Pic_3527a

よって、3点ア、イ、ウを通る平面は、

点エ、カ を通ることがわかります。

同様に考えると、切り口の形は、下の図2の太線となり、

Pic_3528a

六角形アイキウエカ は、すべての辺の長さが等しいので、

切り口は、正六角形の形とわかります。

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