三角すいの道順の数は？（市川中学 2012年）

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下の図のように、すべての面が正三角形でできた三角すいＡＢＣＤ があり、各辺のちょうどまん中の点を、それぞれＥ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ ，Ｊ とします。

点Ｐ は点Ａ を出発し、三角すいＡＢＣＤ と正三角形ＥＦＧ の辺上を動き、１回の移動で必ずとなりの点に動きます。たとえば、点Ｂ のとなりの点は、Ｅ，Ｈ，Ｊ です。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）点Ｐ は、途中で同じ点を通ってはいけないものとして、ちょうど７回の移動で初めて点Ａ にもどる動き方は何通りありますか。

（２）点Ｐ は、同じ点を何回通ってもよいものとして、ちょうど４回の移動で点Ａ にいる動き方は何通りありますか。

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（１）７回の移動で点Ａ に戻る道順として、まず下の図１の場合が

考えられます。

　Ａ→Ｅ→Ｆ→Ｃ→Ｉ→Ｄ→Ｇ→Ａ です。

この移動の仕方は、Ａ→Ｅ→Ｆ まで移動すると、その後の

移動は　Ｃ→Ｉ→Ｄ→Ｇ→Ａ　に決定されますので、

Ａ→Ｅ→Ｆ のほかの場合を考えればよく、ほかに

　　 Ａ→Ｅ→Ｇ、Ａ→Ｆ→Ｅ、Ａ→Ｆ→Ｇ、Ａ→Ｇ→Ｅ，Ａ→Ｇ→Ｆ

があり、合計６通りです。

また、図１の移動の仕方は、逆からも移動でき、

　　　 Ａ→Ｇ→Ｄ→Ｉ→Ｃ→Ｆ→Ｅ→Ａ

となります。この移動の仕方も同様に、６通り あります。

ほかに７回で点Ａ に戻る方法はないので、７回の移動で

初めて点Ａ にもどる動き方は、６＋６＝１２通り です。

　（２）４回の移動で点Ａにいる方法は、まず、Ａ→Ｅ→Ａ→Ｅ→Ａ

のように、２回目に点Ａにもどる方法があります。

１回目に点Ｅ に移動した場合、２回目には点Ａにもどり、

３回目には、Ｅ，Ｆ，Ｇ のどこかに移動し、４回目に点Ａに戻ります。

この方法は、３通りあります。

１回目に点Ｆ に移動した場合も、点Ｇ に移動した場合も、

それぞれ ３通り の方法があるので、この方法では、

　　　　　　３×３＝９通り

の移動方法があります。

次に、下の図２の赤線のように、

　Ａ→Ｇ→Ｄ→Ｇ→Ａ

と移動する方法があります。

この方法は、１→２回目にAGD、AFC、AEB のどこに移動するかで、

３通り の動き方があることがわかります。

また、下の図３のＡ→Ｅ→Ｆ→Ｅ→Ａ のように、折れ曲がって

点Ａ に戻る動き方もあります。

　Ａ→Ｅ→Ｆ，Ａ→Ｅ→Ｇ，Ａ→Ｆ→Ｇ，Ａ→Ｆ→Ｅ，

　Ａ→Ｇ→Ｅ，Ａ→Ｇ→Ｆ

図３の動き方は、以上の６通り があります。

さらに、下の図４のように

Ａ→Ｅ→Ｆ→Ｇ→Ａ という動き方があります。

この動き方は、Ａ→Ｅ→Ｆ までが決まれば、あとは自動的に

Ｇ→Ａ となります。

このような動き方が他に何通りあるか調べると、

　Ａ→Ｅ→Ｇ，Ａ→Ｆ→Ｇ，Ａ→Ｆ→Ｅ，Ａ→Ｇ→Ｆ，Ａ→Ｇ→Ｅ

とあり、合計６通り です。

よって、ちょうど４回の移動で点Ａ にいる動き方は、

　　　　　９＋３＋６＋６＝２４通り

です。

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