三角すいの道順の数は?(市川中学 2012年)
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下の図のように、すべての面が正三角形でできた三角すいABCD があり、各辺のちょうどまん中の点を、それぞれE,F,G,H,I ,J とします。
点P は点A を出発し、三角すいABCD と正三角形EFG の辺上を動き、1回の移動で必ずとなりの点に動きます。たとえば、点B のとなりの点は、E,H,J です。
このとき、次の問に答えなさい。
(1)点P は、途中で同じ点を通ってはいけないものとして、ちょうど7回の移動で初めて点A にもどる動き方は何通りありますか。
(2)点P は、同じ点を何回通ってもよいものとして、ちょうど4回の移動で点A にいる動き方は何通りありますか。
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(1)7回の移動で点A に戻る道順として、まず下の図1の場合が
考えられます。
A→E→F→C→I→D→G→A です。
この移動の仕方は、A→E→F まで移動すると、その後の
移動は C→I→D→G→A に決定されますので、
A→E→F のほかの場合を考えればよく、ほかに
A→E→G、A→F→E、A→F→G、A→G→E,A→G→F
があり、合計6通りです。
また、図1の移動の仕方は、逆からも移動でき、
A→G→D→I→C→F→E→A
となります。この移動の仕方も同様に、6通り あります。
ほかに7回で点A に戻る方法はないので、7回の移動で
初めて点A にもどる動き方は、6+6=12通り です。
(2)4回の移動で点Aにいる方法は、まず、A→E→A→E→A
のように、2回目に点Aにもどる方法があります。
1回目に点E に移動した場合、2回目には点Aにもどり、
3回目には、E,F,G のどこかに移動し、4回目に点Aに戻ります。
この方法は、3通りあります。
1回目に点F に移動した場合も、点G に移動した場合も、
それぞれ 3通り の方法があるので、この方法では、
3×3=9通り
の移動方法があります。
次に、下の図2の赤線のように、
A→G→D→G→A
と移動する方法があります。
この方法は、1→2回目にAGD、AFC、AEB のどこに移動するかで、
3通り の動き方があることがわかります。
また、下の図3のA→E→F→E→A のように、折れ曲がって
点A に戻る動き方もあります。
A→E→F,A→E→G,A→F→G,A→F→E,
A→G→E,A→G→F
図3の動き方は、以上の6通り があります。
さらに、下の図4のように
A→E→F→G→A という動き方があります。
この動き方は、A→E→F までが決まれば、あとは自動的に
G→A となります。
このような動き方が他に何通りあるか調べると、
A→E→G,A→F→G,A→F→E,A→G→F,A→G→E
とあり、合計6通り です。
よって、ちょうど4回の移動で点A にいる動き方は、
9+3+6+6=24通り
です。
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