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2015年8月17日 (月)

2015年8月17日 (月)

おうぎ形がころがる軌跡は?(淑徳与野中学 2009年)

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下の図のように、1辺が18.28cmの正三角形アの外側の線に沿って、半径が6cm、中心角が60°の扇形イをすべらないように時計回りに元の位置まで転がします。このとき、次の問に答えなさい。

   Pic_3413q

(1)扇形が通る部分を正しく図示したものを、下の図A~D から1つ選び、その図の扇形が通る部分に、長方形、正三角形、扇形に分割する線を引きなさい。

Pic_3414q

(2)扇形が通る部分の面積を求めなさい。ただし、1辺の長さが6cmの正三角形の面積は、15.59c㎡ とします。

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(1)扇形の弧の長さは、6×2×3.14×60/360=6.28cm

なので、正三角形アの1辺の長さは、扇形イの半径2個と、弧の

長さの和になっていることがわかります。

 

すると、扇形の動きは、下の図1のようになります。

  Pic_3415a_3

まず、①の位置から②の位置まで、点Sを中心として回転します。

②の位置は、扇形の中心とSを結ぶ線がPQと垂直になる位置で、

次に、②の位置から③の位置へ、正三角形アの辺と扇形イの弧

を合わせながら、扇形の半径の長さを高さとして回転します。

③の位置は、扇形の中心とTを結ぶ線がPQと垂直になる位置で、

点Tを中心として、③の位置から④の位置へ回転します。

④の位置から⑤の位置へは、点Qを中心として回転し、

⑤の位置からは、①の位置にあったときと同様に動きます。

 

よって、扇形が通る部分を正しく図示したものは、図Bで、

図Bを扇形、正三角形、長方形に分割すると、下の図2の

ように線を引けます。

  Pic_3416a

 (2)求める面積は、(1)の図2より、

1辺6cmの正三角形6個、半径6cmの半円3個、

半径6cm、中心角30°の扇形6個、

6cm×6.28cmの長方形3個 の合計で、

 15.59×6+6×6×3.14×180/360×3

         +6×6×3.14×30/360×6+6×6.28×3

=93.54+6×6×3.14×(3/2+1/2)+36×3.14

=93.54+36×3.14×(2+1)

=93.54+108×3.14=93.54+339.12

432.66c㎡

となります。

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