台形をニ等分する直線（女子学院中学 ２０１３年）

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図のような台形ＡＢＣＤ があります。

（１）頂点Ａ を通る直線を引いて台形の面積を半分に分けます。直線が辺ＢＣ と交わる点をＥ とするとき、ＢＥ の長さ何ｃｍですか。

（２）頂点Ｂ を通る直線を引いて台形の面積を半分に分けます。直線が辺ＣＤ と交わる点をＦ とするとき、ＣＦ の長さは何ｃｍですか。

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（１）三角形ＡＢＥ の面積　＝　底辺　×　高さ　÷　２

　　 台形ＡＥＣＤ の面積　＝　（上底＋下底）　×　高さ　÷　２

と表すことができますが、ここで、高さは共通しているので、

三角形ＡＢＥ の底辺の長さ　＝　台形ＡＥＣＤ の 上底＋下底の長さ

となればよいのです。

ＡＤ＝８ｃｍ、ＢＣ＝１４ｃｍ　あわせて２２ｃｍ　なので、

底辺の長さはその半分で、

ＢＥ の長さ＝２２÷２＝１１ｃｍ となります。

（２）頂点Ｂを通り、

台形ＡＢＣＤ の面積を２等分する線を考えます。

三角形ＡＢＤ と三角形ＢＣＤ の面積比は、高さが等しいので

底辺の比となり、８　：　１４　です（下の図１）

　

ＢＦ は台形を２等分するので、台形の面積を ８＋１４＝２２

とすると、三角形ＢＣＦ の面積＝２２÷２＝１１です。

下の図２のように、

　

三角形ＢＦＤ ： 三角形ＢＣＦ ＝　③　：　⑪　になれば

ＢＦ は台形ＡＢＣＤ の面積を２等分するので、点Ｆ の位置は、

辺ＣＤ を　３　：　１１　に分ければよく、

　 ＣＦ ＝ ７×１１/１４＝５．５ｃｍ

になります。

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