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2015年7月27日 (月)

2015年7月27日 (月)

点が移動する旅人算(筑波大学附属駒場中学 2010年)

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平面上に点Oと点Pがあり、下の図1のように、Oを中心とする円と、Pを中心とする円があります。さらに、Pを中心とする円の周上に点Qがあります。

    Pic_2705q

Pは、Oを中心とする円の周上を時計回りに一定の速さで動き続け、Oのまわりを1周するのに9秒かかります。このとき、Pを中心とする円もPと共に動きます。また、Qは、Pを中心とする円の周上を時計回りに一定の速さで動き続け、Pのまわりを1周するのに5秒かかります。

P,Qは、図1の位置から同時に動き始め、たとえば1秒後には下の図2のようになります。このとき、次の問に答えなさい。

    Pic_2706q

(1)動き始めてからPがOのまわりを1周するまでに、3点O,P,Qを結ぶと一直線になることは何回ありますか。ただし、動き始めたときは回数に含みません。

(2)点Rは、Pを中心とする円の周上を、Qと逆回りに一定の速さで動き続け、Pのまわりを1周するのに3秒かかります。Rは、 Qと同じ位置から、Qと同時に動き始めます。

(ア)3点P,Q,R を結ぶと初めて一直線になるのは、動き始めてから何秒後ですか。動き始めたときは含みません。

(イ)動き始めてから2010秒後までに、4点O,P,Q,Rを結ぶと一直線になることは何回ありますか。ただし、動き始めたときは回数に含みません。

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(1)Qは下の図3のように、最初の位置からは、

40+72=112度

動いていることになります。

    Pic_2707a_3

初めて3点O,P,Qが一直線にならぶのは、上の図3のように、

最初に点Qと、点Pをはさんで180度反対側にあった点S に

追いつくことを考えればよく、

点Sは1秒に40度の速さでまわるので、

180÷(112-40)=2.5(秒後) です。

2回目に一直線に並ぶのは、

点QがPを中心とした円を1周して図3の点T に追いつけばよく、

点T も1秒に40度の速さで移動しているので、

追いつくのは、360÷(112-40)=5秒後

3回目に一直線に並ぶのは、

さらに180度移動した点(Sと同じ)に点Qが追いつけばよく、

540÷(112-40)=7.5秒後

となります。

このように、2.5秒ごとに3点O,P,Q は一直線に並ぶので、

点Pが1周する9秒間に、9÷2.5=3あまり2 なので、

3回一直線に並ぶことがわかります。

 

(2)(ア)点Rは3秒で1周するので、

1秒に120度の速さで移動するので、

1秒後には、下の図4のように、

点Tから120度の位置に移動します。

    Pic_2708a

最初の位置から点Rは、1秒で80度動くことがわかります。

点Q,点Rは、1秒で  80+112=192度 はなれるので、

初めて3点P,Q,R が一直線になる(点Qと点Rが180度はなれる)のは

180÷192=15/16秒後 です。

(2)(イ)2回目に3点P,Q,Rが一直線に並ぶのは、

点Qと点Rが出会えばよいので、

360÷192=30/16秒後となります。

よって、3点P,Q,Rが一直線に並ぶのは、

15/16秒ごと ということがわかります。

(1)より、3点O,P,Qが一直線に並ぶのは、2.5秒ごとなので、

4点O,P,Q,R が一直線に並ぶのは、

15/16 と2.5の最小公倍数ごとで、

下の図5のように、すだれ算より、

      Pic_2709a

1/16 × 5×3×8=7.5秒ごと ということがわかります。

2010秒後までに4点O,P,Q,Rが一直線になるのは、

    2010÷7.5=268回 です。

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