頻出の有名な四面体はこれ！（芝中学 2013年）

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下の図は、１辺が１２ｃｍの立方体で、点Ｐ，Ｑ はそれぞれ辺ＡＤ，ＣＤ のまん中の点です。

　　　　　　　

（１）３点 Ｅ，Ｐ，Ｑ を通る平面で この立方体を２つの立体に分けたとき、頂点Ｄ を含む立体の体積を求めなさい。

（２）三角すい Ｈ－ＰＱＤ の表面積を求めなさい。

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（１）３点Ｅ，Ｐ，Ｑ を通る平面は、下の図１のように、

点Ｅ からＰＱ と平行な線を引くと、頂点Ｇ に達するので、

　　　　　　　

台形ＥＰＱＧ の形になります。

ＥＰ，ＨＤ，ＧＱ の３つの線分を伸ばすと、

下の図２のように１点 Ｒ で交わるので、

　　　　　　　

求める体積は、三角すい台ＤＰＱ－ＨＥＧ となり、

三角すいＲ－ＤＰＱ とＲ－ＨＥＧ の相似比が １ ： ２ なので、

その体積比は、１×１×１　：　２×２×２　＝　１　：　８ より、

三角すい台ＤＰＱ－ＨＥＧ の体積は、三角すいＲ－ＤＰＱ の７倍で、

　 ６×６÷２×１２÷３×７＝５０４ｃ?

となります。

（２）三角すいＨ－ＰＱＤ は有名な三角すいです。

知識として知っているか知らないかで、

解けるか解けないかが大きく左右されることでしょう。

三角すいＨ－ＰＱＤ の４つの面について、

特に三角形ＨＰＱ について下の図３を利用して考えると、

ＨＰ＝ＨＱ＝ＢＰ＝ＢＱ で、長さが等しいので、

三角形ＨＰＱ と三角形ＢＰＱ は合同です。

三角形ＨＤＰ は三角形ＢＡＰ と、

三角形ＨＤＱ は三角形ＢＣＱ とそれぞれ合同なので、

　　　　　　　

三角すいＨ－ＰＱＤ の４つの面を並べる（展開図を作る）と、

上の図４の正方形の形になることがいえます。

よって、三角すいＨ－ＰＱＤ の表面積は、

１２×１２＝１４４ｃ㎡と求められます。

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