おもしろ算数問題 山上り下り （芝中学 2010年）

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下の図１のように、Ｐ町からＱ町までの間に２つの峠（とうげ）があります。

Ａ君はＰ町からＱ町へ、Ｂ君はＱ町からＰ町へ向かって

同時に出発して歩いていきました。

２人の歩く速さは等しく、上りは毎時２ｋｍ、下りは毎時４ｋｍで一定です。

２人のかかった時間とＰ町からの道のりとの関係を

下の図２で示しています。このとき、次の問に答えなさい。



（１）Ｐ町からＱ町までの道のりは、何ｋｍですか。

（２）峠から峠までの道のりは、何ｋｍですか。

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　（１）グラフからわかることは、

Ａ君がＰ町からＱ町へ行くと５．１時間、

Ｂ君がＱ町からＰ町へ行くと４．８時間かかることです。

　

Ａ君、Ｂ君ともに、上りは時速２ｋｍ、下りは時速４ｋｍで歩くので、

Ａ君（またはＢ君）がＰ町とＱ町の間を往復すると、

　　　５．１＋４．８＝９．９時間かかる

ということになります。

　

Ａ君が往復すると、Ｐ町からＱ町までの間に下った道のりは、

Ｑ町からＰ町に向かう間には上ることになります。このことから、

図１を下の図３のように考えることができます。

ＰＱ間の道のりを□ｋｍとすると、

　　□÷４＋□÷２＝９．９時間

なので、□＝９．９÷３×４＝１３．２ｋｍ と求められます。

　 

　（２）峠と峠の上りと下りの変わる地点をＭ地点として、

（１）と同様に、Ｐ町からＭ地点、Ｍ地点からＱ地点までの

それぞれの道のりを求めるため、下の図４のように考えます。

図２のグラフより、Ｐ町からＭ地点へは、Ａ君が２．４時間、Ｍ地点

からＰ町へは、Ｂ君が４．８－３＝１．８時間、それぞれかかって

いて、Ｍ地点からＱ町へは、Ａ君が５．１－２．４＝２．７時間、

Ｑ町からＭ地点へは、Ｂ君が３時間、それぞれかかっています。

　

このことから、

　 Ｐ町からＭ地点までの道のりは、

　 □÷２＋□÷４＝２．４＋１．８＝４．２ より、

　 □＝４．２÷３×４＝５．６ｋｍ

　 Ｍ地点からＱ町までの道のりは、

　 □÷２＋□÷４＝２．７＋３＝５．７ より、

　 □＝５．７÷３×４＝７．６ｋｍ （１３．２－５．６＝７．６ｋｍ）

と、それぞれ求められます。

　

ここで、下の図５のように、つるかめ算を用います。

Ａ君がＰ町からＭ地点へ向かうまでに、下りにかかった時間は、

　（５．６－２．４×２）÷２＝０．４時間 と求められるので、

Ａ君がＰ町寄りの峠からＭ地点まで、

　 ０．４×４＝１．６ｋｍ 歩いたことがわかります。

　

同様に、Ａ君がＭ地点からＱ町まで歩いたことから、下の図６の

ように、Ｍ地点からＱ町寄りの峠までの道のりを求めると、

上りにかかった時間は、

　　 （２．７×４－７．６）÷２＝１．６時間 と求められるので、

Ａ君がＭ地点からＱ町よりの峠まで、

　　 １．６×２＝３．２ｋｍ の道のりを歩いたことがわかります。

　

よって、峠と峠の間の道のりは、

　　 １．６＋３．２＝４．８ｋｍ と求められます。

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