点が移動する旅人算（筑波大学附属駒場中学 2010年）

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平面上に点Ｏと点Ｐがあり、下の図１のように、Ｏを中心とする円と、Ｐを中心とする円があります。さらに、Ｐを中心とする円の周上に点Ｑがあります。

　　　　

Ｐは、Ｏを中心とする円の周上を時計回りに一定の速さで動き続け、Ｏのまわりを１周するのに９秒かかります。このとき、Ｐを中心とする円もＰと共に動きます。また、Ｑは、Ｐを中心とする円の周上を時計回りに一定の速さで動き続け、Ｐのまわりを１周するのに５秒かかります。

Ｐ，Ｑは、図１の位置から同時に動き始め、たとえば１秒後には下の図２のようになります。このとき、次の問に答えなさい。

　　　　

（１）動き始めてからＰがＯのまわりを１周するまでに、３点Ｏ，Ｐ，Ｑを結ぶと一直線になることは何回ありますか。ただし、動き始めたときは回数に含みません。

（２）点Ｒは、Ｐを中心とする円の周上を、Ｑと逆回りに一定の速さで動き続け、Ｐのまわりを１周するのに３秒かかります。Ｒは、 Ｑと同じ位置から、Ｑと同時に動き始めます。

（ア）３点Ｐ，Ｑ，Ｒ を結ぶと初めて一直線になるのは、動き始めてから何秒後ですか。動き始めたときは含みません。

（イ）動き始めてから2010秒後までに、４点Ｏ，Ｐ，Ｑ，Ｒを結ぶと一直線になることは何回ありますか。ただし、動き始めたときは回数に含みません。

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（１）Ｑは下の図３のように、最初の位置からは、

４０＋７２＝１１２度

動いていることになります。

　　　　

初めて３点Ｏ，Ｐ，Ｑが一直線にならぶのは、上の図３のように、

最初に点Ｑと、点Ｐをはさんで１８０度反対側にあった点Ｓ に

追いつくことを考えればよく、

点Ｓは１秒に４０度の速さでまわるので、

１８０÷（１１２－４０）＝２．５（秒後） です。

２回目に一直線に並ぶのは、

点ＱがＰを中心とした円を１周して図３の点Ｔ に追いつけばよく、

点Ｔ も１秒に４０度の速さで移動しているので、

追いつくのは、３６０÷（１１２－４０）＝５秒後

３回目に一直線に並ぶのは、

さらに１８０度移動した点（Ｓと同じ）に点Ｑが追いつけばよく、

５４０÷（１１２－４０）＝７．５秒後

となります。

このように、２．５秒ごとに３点Ｏ，Ｐ，Ｑ は一直線に並ぶので、

点Ｐが１周する９秒間に、９÷２．５＝３あまり２ なので、

３回一直線に並ぶことがわかります。

（２）（ア）点Ｒは３秒で１周するので、

１秒に１２０度の速さで移動するので、

１秒後には、下の図４のように、

点Ｔから１２０度の位置に移動します。

　　　　

最初の位置から点Ｒは、１秒で８０度動くことがわかります。

点Ｑ，点Ｒは、１秒で  ８０＋１１２＝１９２度 はなれるので、

初めて３点Ｐ，Ｑ，Ｒ が一直線になる（点Ｑと点Ｒが１８０度はなれる）のは

１８０÷１９２＝１５/１６秒後 です。

（２）（イ）２回目に３点Ｐ，Ｑ，Ｒが一直線に並ぶのは、

点Ｑと点Ｒが出会えばよいので、

３６０÷１９２＝３０/１６秒後となります。

よって、３点Ｐ，Ｑ，Ｒが一直線に並ぶのは、

１５/１６秒ごと ということがわかります。

（１）より、３点Ｏ，Ｐ，Ｑが一直線に並ぶのは、２．５秒ごとなので、

４点Ｏ，Ｐ，Ｑ，Ｒ が一直線に並ぶのは、

１５/１６ と２．５の最小公倍数ごとで、

下の図５のように、すだれ算より、

　　　　　　

１/１６　×　５×３×８＝７．５秒ごと ということがわかります。

２０１０秒後までに４点Ｏ，Ｐ，Ｑ，Ｒが一直線になるのは、

　　　　２０１０÷７．５＝２６８回 です。

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