正六角形と面積比 （白百合学園中学 2004年）

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正六角形があり、各頂点を線で結び、さらに交点どうしを線で結んで、

下図のように色をつけました。

色の付いた部分と、元の正六角形の面積比を求めなさい。　　　　　　　　

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正六角形の１つの角度は１２０°です。下図の３つの青い三角形は

合同なので、３つの青い三角形に囲まれた三角形は正三角形です。

　　　　

同様に、もう１つ正三角形を見つけられます。

青い三角形は、二等辺三角形で、正六角形のひとつの角度が

１２０°なことから、３０°、３０°、１２０°の二等辺三角形と

いうことがわかります。

　　　　

すると、上図の６個の赤い三角形は、すべての角度が６０°

なので正三角形で、６個の正三角形に囲まれた六角形は

正六角形ということがわかります。

　　　　

上図で、緑の正三角形と、黄色い二等辺三角形は、

底辺の長さが等しいので、面積が同じといえます。

下図のように、内側の正六角形に線を引くと、

　　　　

内側の正六角形内部に６つの正三角形ができ、

これも同じ面積なので、正六角形は１８個の同じ面積の

三角形に分割され、黄色い部分はそのうちの６個分ですから、

元の正六角形の面積を１とすると、６/１８＝１/３の面積です。

内側の正六角形も６/１８＝１/３の面積です。

　　　　　　　　　

先ほどの図で、緑の部分と黄色の部分が入れ代わった

ものですが、黄色い部分の面積は、内側の正六角形の６/１８です。

よって、この部分の面積は、元の正六角形の面積の

６/１８ × ６/１８＝１/９　の面積です。

よって、合計すると、黄色い部分の面積は、

１/３ ＋ １/９ ＝ ４/９　の面積です。

よって、黄色い部分の面積：正六角形の面積

＝４/９ ： １＝４：９　　となります。

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