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2015年7月7日

2015年7月 7日 (火)

おもしろ算数問題 山上り下り (芝中学 2010年)

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下の図1のように、P町からQ町までの間に2つの峠(とうげ)があります。

A君はP町からQ町へ、B君はQ町からP町へ向かって

同時に出発して歩いていきました。

2人の歩く速さは等しく、上りは毎時2km、下りは毎時4kmで一定です。

2人のかかった時間とP町からの道のりとの関係を

下の図2で示しています。このとき、次の問に答えなさい。



(1)P町からQ町までの道のりは、何kmですか。

(2)峠から峠までの道のりは、何kmですか。

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 (1)グラフからわかることは、

A君がP町からQ町へ行くと5.1時間、

B君がQ町からP町へ行くと4.8時間かかることです。

 

A君、B君ともに、上りは時速2km、下りは時速4kmで歩くので、

A君(またはB君)がP町とQ町の間を往復すると、

   5.1+4.8=9.9時間かかる

ということになります。

 

A君が往復すると、P町からQ町までの間に下った道のりは、

Q町からP町に向かう間には上ることになります。このことから、

図1を下の図3のように考えることができます。

PQ間の道のりを□kmとすると、

  □÷4+□÷2=9.9時間

なので、□=9.9÷3×4=13.2km と求められます。

  

 (2)峠と峠の上りと下りの変わる地点をM地点として、

(1)と同様に、P町からM地点、M地点からQ地点までの

それぞれの道のりを求めるため、下の図4のように考えます。

図2のグラフより、P町からM地点へは、A君が2.4時間、M地点

からP町へは、B君が4.8-3=1.8時間、それぞれかかって

いて、M地点からQ町へは、A君が5.1-2.4=2.7時間、

Q町からM地点へは、B君が3時間、それぞれかかっています。

 

このことから、

  P町からM地点までの道のりは、

  □÷2+□÷4=2.4+1.8=4.2 より、

  □=4.2÷3×4=5.6km

  M地点からQ町までの道のりは、

  □÷2+□÷4=2.7+3=5.7 より、

  □=5.7÷3×4=7.6km (13.2-5.6=7.6km)

と、それぞれ求められます。

 

ここで、下の図5のように、つるかめ算を用います。

A君がP町からM地点へ向かうまでに、下りにかかった時間は、

 (5.6-2.4×2)÷2=0.4時間 と求められるので、

A君がP町寄りの峠からM地点まで、

  0.4×4=1.6km 歩いたことがわかります。

 

同様に、A君がM地点からQ町まで歩いたことから、下の図6の

ように、M地点からQ町寄りの峠までの道のりを求めると、

上りにかかった時間は、

   (2.7×4-7.6)÷2=1.6時間 と求められるので、

A君がM地点からQ町よりの峠まで、

   1.6×2=3.2km の道のりを歩いたことがわかります。

 

よって、峠と峠の間の道のりは、

   1.6+3.2=4.8km と求められます。

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