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2015年6月19日 (金)

高速道路の追い越し問題(麻布中学 2005年)

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図のように進行方向が同じ2車線の高速道路があります。車はA車線では時速80km,B車線では時速110kmで走り,追い越しをするときはB車線に入ります。①から⑩までの車がA車線を100mの間隔を保ちながら走っています(図1)。
いま,最後尾の車⑩が,B車線を走り始めました(図2)。次に,車⑩が車⑧に並んだときに,車⑨はB車線を走り始めました(図3)。同じように,車⑩が車⑥に並んだとき,車⑧はB車線を走り始めます(図4)。このように,A車線の最後尾の車が次々とB車線に入り,100mの間隔を保ちながら走ります。車⑩は車①の100m前に来たとき,A車線に戻ります(図5)。同じように,車⑨,⑧,・・・もA車線の先頭の車の100m前に来たら,A車線に戻ります。車の大きさ,車線変更の時間は考えないことにして,次の問いに答えなさい。

1

(1)図2の状態から図5の状態になるまで何秒かかりますか。

(2)車⑩が最後尾となり,再び追い越しを始めるのは図2の状態から何秒後ですか。

(3)図2の状態から(2)の状態になるまで,車⑩は時速何kmで走ったことになりますか。

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(1)A車線の車を静止させて考えると、

図2から図5まで、⑩は100m×10=1000m 移動することになります。

速さは時速110-80=30km→1分間に500m なので、

1000÷500=2分 →120秒 です。

(2)⑩が再び最後尾になるのは9台に追い抜かれたとき、

と考えると、間違いやすくなります。

図5のA車線に注目すると、⑩の後ろには4台しか車がいません。

この4台がB車線に出た後、⑩はB車線に出られるわけです。

図5 の⑨が下図のように先頭になるまで、

    ③  ②  ①  ⑩  ⑨

④  ⑤  ⑥  ⑦  ⑧  

A車線を静止させて考えると、⑨は時速30kmで200m進むので、

200/500=2/5分→24秒かかります。

⑩がB車線に出るまでは、24×5=120秒、

図2からは、120+120=240秒 です。

(3)時速110kmで走った時間が120秒、

時速80kmで走った時間が120秒なので、

車⑩の時速は、(2/60×110+2/60×80))÷4/60

=2/60×(110+80)÷4/60

=190÷2=95km

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