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2015年6月29日 (月)

2015年6月29日 (月)

立方体上の点の移動 (立教新座中学 2009年)

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1辺8cmの立方体ABCD-EFGHがあります(図1)。

点Pが立方体の頂点A→B→C→D→H→G→F→E→Aの順に、

1秒間に2cmの速さで移動します。

また、点Qが頂点A→D→H→E→A→D→・・・の順に、

1秒間に4cmの速さで、点Pが移動し終わるまで動きます。

点P,Qが同時に頂点Aを出発したとき、次の問に答えなさい。

      

(1)点Pが頂点Gにいるとき、点Qはどこにいるか答えなさい。

(2)線分PQの長さがもっとも長くなるのは出発して何秒後か答えなさい。

(3)点P,Qがともに立方体の同じ辺上にいるのは、

   もっとも長くて何秒間か答えなさい。

(4)三角形PQHが正三角形になるのは出発して何秒後か答えなさい。

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解答

 (1)点Pは4秒間で、ひとつの頂点から次の頂点まで移動します。

点Qは2秒間で、ひとつの頂点から次の頂点まで移動します。

すなわち、点Pがひとつの頂点から次の頂点まで移動するとき、

点Qは2つ先の頂点まで移動します。

 

 点Pが頂点Gに着くまでに、A→B→C→D→H→G  と、5個の

頂点を移動するので、点Qは10個移動することになります。

点Qは4個の頂点を移動すると頂点Aに戻るので、

10÷4=2...2 より、

点Pが頂点Gにいるとき、点Qは頂点Hにいることがわかります。

 

 (2)立方体の対角線:AG,BH,CE,DFとPQが重なるとき、

PQの長さはもっとも長くなります。

 

点Pがひとつの頂点を移動する間に点Qは2個先の頂点へ移動

するので、同時に頂点Aを出発すると、点Pがどこかの頂点に

いるとき、点Qは頂点AまたはHにいることになりますので、

立方体の対角線:AG,BH とPQが重なるかどうかを調べます。

 

(1)より、点Pが頂点Gにいるとき、点Qは頂点Hにいるので、

AGとPQは重なりません。

 

点Pが頂点Bにいるときは、点Qは頂点Hに移動しています。

これは8cm÷2cm/秒=4秒後 となります。

 

 (3)点Pと点Qの動きが重なるのは、立方体の辺DHとEAです。

点Pが立方体の各頂点上にいるとき、点Qが頂点A、Hのどちらに

いるのかを図2のかっこに示しました。


点Pが頂点Dにいるとき、点Qは頂点Hにいて、H→E→A と、

点P(頂点D)から離れてしまうので、同一辺上にいません。

 

点Pが頂点Eにいるとき、点Qは頂点Hにいて、H→E→A と、

点Pに近づいてきて、点Pが頂点Aに着くときに点Qも頂点Aに

着きます。

 

点Qが頂点Eに着くのは、点Pが頂点Eを出発して2秒後で、

頂点Aに着くまでの2秒間、点P,Qは辺EA上にいます。

 

よって、点P,Qがともに立方体の同じ辺上にいるのは、

もっとも長くて2秒間です。

 

 (4)点Pが立方体の頂点にいるときについて調べると、

三角形PQHが正三角形になるときなので、点Qが頂点Hにいるとき、

すなわち、点Pが頂点B,D,G,Eにいるときは除外され、また、

点Pが頂点Aに戻るとき、点Qも頂点Aに着くので、これも除外され、

点PがC,Fにいるときに三角形PQHが正三角形になります(図3)

(3辺の長さが等しい)


点Pが頂点Cに着くのは、16÷2=8秒後、

頂点Fに着くのは48÷2=24秒後 なので、

答えは8秒後と24秒後です。

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