回転する正方形の軌跡は？ （鎌倉女学院中学 2011年）

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下の図は、正方形ＡＢＣＤを、頂点Ｃを中心として時計回りに１回転させたときに、

頂点Ａ，Ｂが動いてできた円です。

図の青い部分の面積が５０．２４ｃ㎡  のとき、次の問に答えなさい。

　　　

（１）正方形ＡＢＣＤ の１辺の長さは何ｃｍですか。

（２）頂点Ａ  が動いてできた円の面積を求めなさい。

（３）正方形ＡＢＣＤ が９０°回転したとき、辺ＡＢが通過した

　　  部分の面積を求めなさい。

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　（１）青い扇形の面積が５０．２４ｃ㎡  なので、

　　　 　半径×半径×３．１４÷４＝５０．２４ より、

半径×半径＝６４  なので、半径＝正方形の１辺の長さ＝８ｃｍ

と求められます。

　

　（２）頂点Ａ  が動いてできる円の半径＝正方形の対角線ＡＣ で、

　　　 正方形の面積＝対角線×対角線÷２ より、

　　　  ６４＝対角線×対角線÷２　→　対角線×対角線＝１２８

とわかります。

　

よって、頂点Ａ  が動いてできる円の面積は、

　　対角線×対角線×３．１４＝１２８×３．１４＝４０１．９２ｃ㎡ 

と求められます。

　

　（３）辺ＡＢが通過する部分は、下の図１のようになります。

よく出題される問題ですので、マスターしましょう。

　　　　 

この場合、いろいろな面積の求め方ができます。

たとえば、下の図２のように２つの部分に分けて合わせることも

できます。

　　　　 

図２の黄色い部分は、正方形の面積から、９０°の扇形の

面積を除いて、

　　　８×８－８×８×３．１４÷４

図２の青い部分の面積は、正方形の対角線を半径とした

９０°の扇形の面積から、正方形と同じ面積を除いて、

　　１２８×３．１４÷４－８×８

　

黄色い部分と青い部分を合計して、

　　８×８－８×８×３．１４÷４＋（１２８×３．１４÷４－８×８）

＝（３２－１６）×３．１４＝１６×３．１４

＝５０．２４ｃ㎡  と求められます。

　

　また、下の図３のように、同じ面積の部分を移してしまう方法も

あります。問題慣れしてる人は、こちらの解法で解けるはずです。

　　　　 

すると、求める面積は、

　  （対角線×対角線－８×８）×３．１４÷４

＝（１２８－６４）×３．１４÷４＝１６×３．１４

＝５０．２４ｃ㎡  となります。

　

対角線×対角線 の円への応用、図形の移動が

組み合わされた良問と思われます。

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