長さの比は？（広島学院中学 2009年）

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下の図のような四角形ＡＢＣＤがあり、その面積は３８４ｃ㎡、

ＡＤ＝２０ｃｍ、角ＡＤＣ＝９０度です。

ＣからＡＤと平行な線を引きＡＢとの交点をＥ  とします。

次に、ＡＦ：ＦＥ＝２：３となるようにＡＢ上に点Ｆをとると、

ＡＦ：ＥＢ＝１：２となり、三角形ＤＥＦの面積が７２ｃ㎡  になりました。

このとき次の問に答えなさい。

　　　

（１）ＡＥ：ＥＢ  の長さの比を求めなさい。

（２）ＣＤの長さを求めなさい。

（３）三角形ＡＣＤの面積と三角形ＡＥＧの面積が等しくなるように

　　  ＢＣ上に点Ｇをとるとき、ＢＧ：ＧＣ  の長さの比を求めなさい。

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　（１）ＡＦ：ＦＥ＝２：３、ＡＦ：ＥＢ＝１：２なので、

　　　  ＡＦ：ＥＢ＝２：４とすると、ＡＥ：ＥＢ＝２＋３：４＝５：４  となります。

　

　（２）ＡＦ：ＦＥ＝２：３なので、下の図１のように、

三角形ＡＤＦの面積：三角形ＤＥＦの面積＝２：３  ということになり、

三角形ＤＥＦの面積＝７２ｃ㎡  なので、三角形ＡＤＦの面積＝４８ｃ㎡

と求められます。

　　　

すると、三角形ＡＤＥの面積＝７２＋４８＝１２０ｃ㎡  となり、

三角形ＡＤＥの面積＝ＡＤ×ＣＤ÷２ より、

　ＣＤの長さ＝１２０×２÷２０＝１２ｃｍ  と求められます。

　

　（３）ＢＧ：ＧＣを求める

　　　　　→三角形ＡＢＧ：三角形ＡＣＧの面積比を求めればよい

　と考えます。

　　

三角形ＡＣＤの面積と三角形ＡＥＧの面積は１２０ｃ㎡  で、

ＡＥ：ＥＢ＝５：４なので、三角形ＡＥＧ：三角形ＢＥＧの面積比＝５：４

ということになります。

　　　

よって、三角形ＢＥＧの面積は９６ｃ㎡  とわかり、上の図２より、

三角形ＡＣＧの面積は、

　四角形ＡＢＣＤから三角形ＡＣＤと三角形ＡＢＧを除いたもので、

３８４－（１２０＋１２０＋９６）＝４８ｃ㎡  と求められます。

　

すると、三角形ＡＢＧと三角形ＡＣＧの面積比は、

　１２０＋９６ ： ４８＝９：２  となるので、

これは下の図３のようにＢＧ：ＧＣ と等しく、

　　　

　ＢＧ：ＧＣ＝９：２ と求められます。

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