立方体上の点の移動 （立教新座中学 2009年）

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１辺８ｃｍの立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがあります（図１）。

点Ｐが立方体の頂点Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｈ→Ｇ→Ｆ→Ｅ→Ａの順に、

１秒間に２ｃｍの速さで移動します。

また、点Ｑが頂点Ａ→Ｄ→Ｈ→Ｅ→Ａ→Ｄ→・・・の順に、

１秒間に４ｃｍの速さで、点Ｐが移動し終わるまで動きます。

点Ｐ，Ｑが同時に頂点Ａを出発したとき、次の問に答えなさい。

　　　　　 

（１）点Ｐが頂点Ｇにいるとき、点Ｑはどこにいるか答えなさい。

（２）線分ＰＱの長さがもっとも長くなるのは出発して何秒後か答えなさい。

（３）点Ｐ，Ｑがともに立方体の同じ辺上にいるのは、

　　　もっとも長くて何秒間か答えなさい。

（４）三角形ＰＱＨが正三角形になるのは出発して何秒後か答えなさい。

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解答

　（１）点Ｐは４秒間で、ひとつの頂点から次の頂点まで移動します。

点Ｑは２秒間で、ひとつの頂点から次の頂点まで移動します。

すなわち、点Ｐがひとつの頂点から次の頂点まで移動するとき、

点Ｑは２つ先の頂点まで移動します。

　

　点Ｐが頂点Ｇに着くまでに、Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｈ→Ｇ  と、５個の

頂点を移動するので、点Ｑは１０個移動することになります。

点Ｑは４個の頂点を移動すると頂点Ａに戻るので、

１０÷４＝２．．．２　より、

点Ｐが頂点Ｇにいるとき、点Ｑは頂点Ｈにいることがわかります。

　

　（２）立方体の対角線：ＡＧ，ＢＨ，ＣＥ，ＤＦとＰＱが重なるとき、

ＰＱの長さはもっとも長くなります。

　

点Ｐがひとつの頂点を移動する間に点Ｑは２個先の頂点へ移動

するので、同時に頂点Ａを出発すると、点Ｐがどこかの頂点に

いるとき、点Ｑは頂点ＡまたはＨにいることになりますので、

立方体の対角線：ＡＧ，ＢＨ　とＰＱが重なるかどうかを調べます。

　

（１）より、点Ｐが頂点Ｇにいるとき、点Ｑは頂点Ｈにいるので、

ＡＧとＰＱは重なりません。

　

点Ｐが頂点Ｂにいるときは、点Ｑは頂点Ｈに移動しています。

これは８ｃｍ÷２ｃｍ/秒＝４秒後　となります。

　

　（３）点Ｐと点Ｑの動きが重なるのは、立方体の辺ＤＨとＥＡです。

点Ｐが立方体の各頂点上にいるとき、点Ｑが頂点Ａ、Ｈのどちらに

いるのかを図２のかっこに示しました。

点Ｐが頂点Ｄにいるとき、点Ｑは頂点Ｈにいて、Ｈ→Ｅ→Ａ　と、

点Ｐ（頂点Ｄ）から離れてしまうので、同一辺上にいません。

　

点Ｐが頂点Ｅにいるとき、点Ｑは頂点Ｈにいて、Ｈ→Ｅ→Ａ　と、

点Ｐに近づいてきて、点Ｐが頂点Ａに着くときに点Ｑも頂点Ａに

着きます。

　

点Ｑが頂点Ｅに着くのは、点Ｐが頂点Ｅを出発して２秒後で、

頂点Ａに着くまでの２秒間、点Ｐ，Ｑは辺ＥＡ上にいます。

　

よって、点Ｐ，Ｑがともに立方体の同じ辺上にいるのは、

もっとも長くて２秒間です。

　

　（４）点Ｐが立方体の頂点にいるときについて調べると、

三角形ＰＱＨが正三角形になるときなので、点Ｑが頂点Ｈにいるとき、

すなわち、点Ｐが頂点Ｂ，Ｄ，Ｇ，Ｅにいるときは除外され、また、

点Ｐが頂点Ａに戻るとき、点Ｑも頂点Ａに着くので、これも除外され、

点ＰがＣ，Ｆにいるときに三角形ＰＱＨが正三角形になります（図３）

（３辺の長さが等しい）

点Ｐが頂点Ｃに着くのは、１６÷２＝８秒後、

頂点Ｆに着くのは４８÷２＝２４秒後　なので、

答えは８秒後と２４秒後です。

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スマートホンアプ リ「立方体の切り口はどんな形？」（ネット環境でのＦ ｌａｓｈアニメーション）

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