水面の高さと体積は？（海城中学 2009年）

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１辺６ｃｍの立方体７個と、

直角をはさむ２辺の長さが６ｃｍの直角二等辺三角形を底面として

高さ６ｃｍの三角柱１２個を使い下の図のような立体を組み立てました。

　　　　　

このとき、次の問に答えなさい。

　

（１）この立体の体積を求めなさい。

　

この立体と同じ形、同じ大きさ、同じ置き方の空の水そうを用意し、

毎分１８ｃm3で水を入れていきます。

　

（２）水面の高さが３ｃｍになるのは何秒後ですか。

（３）水面の高さが８ｃｍになるのは何秒後ですか。

（４）１４４秒後の水面の高さを答えなさい。

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　（１）１辺６ｃｍの立方体の体積は、６×６×６＝２１６ｃm3

直角をはさむ２辺が６ｃｍの直角二等辺三角形を底面とする

高さ６ｃｍの三角柱の体積は、

　６×６÷２×６＝１０８ｃｃm3

なので、この立体の体積は、

　２１６×７＋１０８×１２＝２１６×（７＋６）＝２８０８ｃｃm3
となります。

　

　

　（２）水面が高さ３ｃｍのとき、水の体積は、

　立方体１個の部分　→　６×６×３＝１０８ｃｃm3
　三角柱４個の部分　→　３×３÷２×６×４＝１０８ｃｃm3
水が毎分１８ｃ㎥ 入ってくるので、水面の高さが３ｃｍになるのは、

　（１０８＋１０８）÷１８＝１２秒後  です。

　

　（３）水面の高さが８ｃｍのときの水の体積は、

まん中の部分が下の図１のようになっていることから、

　　　　　 

一番下の部分　→　６×６×６＋６×６÷２×６×４＝６×６×６×３

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝６４８ｃｃm3

まん中の部分（高さ２ｃｍ）　→　６×６×２×５＋６×６÷２×２×４

　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝３６×１４ｃｃm3

　

よって、水面の高さが８ｃｍになるのは、

　（６×６×６×３＋３６×１４）÷１８

＝１８×（３６＋２８）÷１８＝６４秒後  です。

　

　

　（４）まん中の部分がすべて水で満たされるのは、

　（６４８＋６×６×６×５＋６×６÷２×６×４）÷１８

　＝（１８×６×６＋６×６×６×７）÷１８

　＝３６＋８４＝１２０秒後 

なので、１４４秒後には一番上の部分に水が入っていることに

なります。

（一番上の部分と一番下の部分は体積が等しいので

６４８÷１８＝３６秒  かかり、１２０＋３６＝１５６秒後に

水があふれることがわかります）

　

１４４－１２０＝２４秒間に入る水の体積は、

　　１８×２４＝４３２ｃｃm3です。

　

４３２ｃ㎥  の水が下の図２のように入っているので、

　　

一番上の部分の水の高さを□ｃｍとすると、下の図３のように

　　　　　　

台形状に水が入っているので、水の体積は、

　６×６×□＋｛（６－□）＋６｝×□÷２×６×４＝４３２ 

なので、

　３×□＋（１２－□）×□＝３６

という式になり、この式は小学生では解くことができません。

　

　

発想を変える必要があります。

　

　　　　　　　　そこで、秒数に注目します。

　

１２０秒でまん中の部分が水で満たされ、１５６秒後に

すべての部分が水で満たされます。

　

求めるのは、１４４秒後に水がどの高さにあるかです。

　

あらためて、下の図４を見てみますが、このとき（２）を思い出すと、

図５は（２）の状態を表したものです。

　

図４と図５を比べてみると、同じ１２秒ですから、

上から水が入ろうが、下から水が上がってこようが、

入る水の体積は等しくなっています。

　

すなわち、図４の水面の高さは、上から３ｃｍのところである

とわかります。

　

よって、１４４秒後の水面の高さは、

　１２＋（６－３）＝１５ｃｍ  のところになります。

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