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2015年6月10日 (水)

2015年6月10日 (水)

回転する正方形の軌跡は? (鎌倉女学院中学 2011年)

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下の図は、正方形ABCDを、頂点Cを中心として時計回りに1回転させたときに、

頂点A,Bが動いてできた円です。

図の青い部分の面積が50.24c㎡  のとき、次の問に答えなさい。

   

(1)正方形ABCD の1辺の長さは何cmですか。

(2)頂点A  が動いてできた円の面積を求めなさい。

(3)正方形ABCD が90°回転したとき、辺ABが通過した

    部分の面積を求めなさい。

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 (1)青い扇形の面積が50.24c㎡  なので、

     半径×半径×3.14÷4=50.24 より、

半径×半径=64  なので、半径=正方形の1辺の長さ=8cm

と求められます。

 

 (2)頂点A  が動いてできる円の半径=正方形の対角線AC で、

    正方形の面積=対角線×対角線÷2 より、

     64=対角線×対角線÷2 → 対角線×対角線=128

とわかります。

 

よって、頂点A  が動いてできる円の面積は、

  対角線×対角線×3.14=128×3.14=401.92c㎡ 

と求められます。

 

 (3)辺ABが通過する部分は、下の図1のようになります。

よく出題される問題ですので、マスターしましょう。

     

この場合、いろいろな面積の求め方ができます。

たとえば、下の図2のように2つの部分に分けて合わせることも

できます。

     

図2の黄色い部分は、正方形の面積から、90°の扇形の

面積を除いて、

   8×8-8×8×3.14÷4

図2の青い部分の面積は、正方形の対角線を半径とした

90°の扇形の面積から、正方形と同じ面積を除いて、

  128×3.14÷4-8×8

 

黄色い部分と青い部分を合計して、

  8×8-8×8×3.14÷4+(128×3.14÷4-8×8)

=(32-16)×3.14=16×3.14

=50.24c㎡  と求められます。

 

 また、下の図3のように、同じ面積の部分を移してしまう方法も

あります。問題慣れしてる人は、こちらの解法で解けるはずです。

     

すると、求める面積は、

   (対角線×対角線-8×8)×3.14÷4

=(128-64)×3.14÷4=16×3.14

=50.24c㎡  となります。

 

対角線×対角線 の円への応用、図形の移動が

組み合わされた良問と思われます。

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