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2015年6月 9日 (火)

2015年6月 9日 (火)

長さの比は?(広島学院中学 2009年)

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下の図のような四角形ABCDがあり、その面積は384c㎡、

AD=20cm、角ADC=90度です。

CからADと平行な線を引きABとの交点をE  とします。

次に、AF:FE=2:3となるようにAB上に点Fをとると、

AF:EB=1:2となり、三角形DEFの面積が72c㎡  になりました。

このとき次の問に答えなさい。

   

(1)AE:EB  の長さの比を求めなさい。

(2)CDの長さを求めなさい。

(3)三角形ACDの面積と三角形AEGの面積が等しくなるように

    BC上に点Gをとるとき、BG:GC  の長さの比を求めなさい。

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 (1)AF:FE=2:3、AF:EB=1:2なので、

     AF:EB=2:4とすると、AE:EB=2+3:4=5:4  となります。

 

 (2)AF:FE=2:3なので、下の図1のように、

三角形ADFの面積:三角形DEFの面積=2:3  ということになり、

三角形DEFの面積=72c㎡  なので、三角形ADFの面積=48c㎡

と求められます。

   

すると、三角形ADEの面積=72+48=120c㎡  となり、

三角形ADEの面積=AD×CD÷2 より、

 CDの長さ=120×2÷20=12cm  と求められます。

 

 (3)BG:GCを求める

     →三角形ABG:三角形ACGの面積比を求めればよい

 と考えます。

  

三角形ACDの面積と三角形AEGの面積は120c㎡  で、

AE:EB=5:4なので、三角形AEG:三角形BEGの面積比=5:4

ということになります。

   

よって、三角形BEGの面積は96c㎡  とわかり、上の図2より、

三角形ACGの面積は、

 四角形ABCDから三角形ACDと三角形ABGを除いたもので、

384-(120+120+96)=48c㎡  と求められます。

 

すると、三角形ABGと三角形ACGの面積比は、

 120+96 : 48=9:2  となるので、

これは下の図3のようにBG:GC と等しく、

   

 BG:GC=9:2 と求められます。

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