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2015年5月27日 (水)

 長さ比と面積比は?(智辯学園和歌山中学 2009年)

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下の図の三角形ABCにおいて、BC,DE,FG  は平行で、

AE :EC=1:2、AG:GC=3:2 となっています。

また、BE  とFGの交点をHとします。このとき次の問に答えなさい。

(1)BH:HE  の長さの比を答えなさい。

(2)三角形DEG と三角形DFH と三角形FCH の面積の和は、

   四角形DGCH  の面積の何倍か答えなさい。 

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 (1)BCとFGは平行なので、三角形EBCと三角形EHGは

相似です。よって、BH:HEは、CG:GEに等しいといえます。

下の図1のように、AE:EC=1:2、AG:GC=3:2  から、

比をそろえると、

 CG:GE=6:4=3:2 となるので、BH:HE=3:2  です。

 

 (2)三角形DEG と三角形DFH と三角形FCH の面積の和と、

四角形DGCH  の面積比を求めればよいことになります。

 

3つの三角形について、下の図2のように、三角形FCHは等積移動

すると三角形FBHと等しくなります。また、三角形DEGは等積移動

すると三角形DHEに、三角形DHGは三角形EHGに等しくなります。

すると、三角形DEG  と三角形DFH と三角形FCH  の面積の和は、

三角形BDEの面積と等しくなり、四角形DGCHの面積は、三角形

CHEの面積と等しいことになります。

 

下の図3のように、DE:BC=AE:AC=5:15、

BH:HE=3:2なので、

三角形BDEの面積:三角形CHEの面積

=5:15÷(3+2)×2=5:6  となります。

 

よって、三角形DEG と三角形DFH と三角形FCH の面積の和は、

四角形DGCHの面積の5/6  (倍) となります。

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