長さ比と面積比は？（智辯学園和歌山中学 2009年）

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下の図の三角形ＡＢＣにおいて、ＢＣ，ＤＥ，ＦＧ  は平行で、

ＡＥ ：ＥＣ＝１：２、ＡＧ：ＧＣ＝３：２ となっています。

また、ＢＥ  とＦＧの交点をＨとします。このとき次の問に答えなさい。

（１）ＢＨ：ＨＥ  の長さの比を答えなさい。

（２）三角形ＤＥＧ と三角形ＤＦＨ と三角形ＦＣＨ の面積の和は、

　　 四角形ＤＧＣＨ  の面積の何倍か答えなさい。 

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　（１）ＢＣとＦＧは平行なので、三角形ＥＢＣと三角形ＥＨＧは

相似です。よって、ＢＨ：ＨＥは、ＣＧ：ＧＥに等しいといえます。

下の図１のように、ＡＥ：ＥＣ＝１：２、ＡＧ：ＧＣ＝３：２  から、

比をそろえると、

　ＣＧ：ＧＥ＝６：４＝３：２ となるので、ＢＨ：ＨＥ＝３：２  です。

　

　（２）三角形ＤＥＧ と三角形ＤＦＨ と三角形ＦＣＨ の面積の和と、

四角形ＤＧＣＨ  の面積比を求めればよいことになります。

　

３つの三角形について、下の図２のように、三角形ＦＣＨは等積移動

すると三角形ＦＢＨと等しくなります。また、三角形ＤＥＧは等積移動

すると三角形ＤＨＥに、三角形ＤＨＧは三角形ＥＨＧに等しくなります。

すると、三角形ＤＥＧ  と三角形ＤＦＨ と三角形ＦＣＨ  の面積の和は、

三角形ＢＤＥの面積と等しくなり、四角形ＤＧＣＨの面積は、三角形

ＣＨＥの面積と等しいことになります。

　

下の図３のように、ＤＥ：ＢＣ＝ＡＥ：ＡＣ＝５：１５、

ＢＨ：ＨＥ＝３：２なので、

三角形ＢＤＥの面積：三角形ＣＨＥの面積

＝５：１５÷（３＋２）×２＝５：６  となります。

　

よって、三角形ＤＥＧ と三角形ＤＦＨ と三角形ＦＣＨ の面積の和は、

四角形ＤＧＣＨの面積の５/６  （倍） となります。

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