魔方陣×場合の数 （学習院中等科 2008年）

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下の図の丸の中に、１から７までの数字を、どれも必ず１回使い、

直線で結ばれた３つの数の和がどれも同じになるように入れます。

（１）３つの数の和はいくらか答えなさい。

（２）図を満たす数字の組み合わせは何通りありますか。

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　（１）下図のようにＡ～Ｇまでの記号を当てはめ、３つの数の

和を□とすると、

Ａ＋Ｂ＋Ｅ  ＝Ａ＋Ｃ＋Ｆ ＝Ａ＋Ｄ＋Ｇ  ＝Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＝□

となります。

この図には５つの数の和ができるので、そのすべてを足してみます。

　

Ａ＋Ｂ＋Ｅ＋Ａ＋Ｃ＋Ｆ＋Ａ＋Ｄ＋Ｇ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ

＝□×５

整理してみると、

（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ）×２＋Ａ＝□×５　となります。

   

Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＝１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＝２８  より、

２８×２＋Ａ＝５６＋Ａ＝□×５　という式ができます。

　

この式は、５６＋Ａ が、５の倍数  ということを示しています。　

　

Ａには、１から７のいずれかが入るので、

５６＋Ａが５の倍数になるには、Ａ＝４  でなければならないので、

５６＋４＝６０＝□×５　より、□＝６０÷５＝１２  と求められます。

　

よって、３つの数の和は、１２です。

　

　（２）Ａには４が必ず入るので、残る６個の数字について考えます。

３つの数の和が１２なので、

Ｂ＋Ｅ＝Ｃ＋Ｆ＝Ｄ＋Ｇ＝１２－４＝８です。

残る数字は１，２，３，５，６，７で、足して８になる組は、

（１，７）、（２，６）、（３，５）の３組です。

　

さらに、Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＝１２となるような組は、

（１，５，６）、（２，３，７）の２組です。

　　

Ｂ，Ｃ，Ｄ＝（１，５，６）のとき、Ｂ，Ｃ，Ｄの数が決まれば

Ｅ，Ｆ，Ｇの数も決まるので、その並び方の数は、

３×２×１＝６通り  です。

　

Ｂ，Ｃ，Ｄ＝（２，３，７）のときも、同様に６通りあるので、

合計すると、６×２＝１２通り  となります。

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