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2015年5月29日 (金)

魔方陣×場合の数 (学習院中等科 2008年)

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下の図の丸の中に、1から7までの数字を、どれも必ず1回使い、

直線で結ばれた3つの数の和がどれも同じになるように入れます。



(1)3つの数の和はいくらか答えなさい。

(2)図を満たす数字の組み合わせは何通りありますか。

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 (1)下図のようにA~Gまでの記号を当てはめ、3つの数の

和を□とすると、

A+B+E  =A+C+F =A+D+G  =B+C+D=E+F+G=□

となります。

この図には5つの数の和ができるので、そのすべてを足してみます。

 

A+B+E+A+C+F+A+D+G+B+C+D+E+F+G

=□×5

整理してみると、

(A+B+C+D+E+F+G)×2+A=□×5 となります。

   

A+B+C+D+E+F+G=1+2+3+4+5+6+7=28  より、

28×2+A=56+A=□×5 という式ができます。

 

この式は、56+A が、5の倍数  ということを示しています。 

 

Aには、1から7のいずれかが入るので、

56+Aが5の倍数になるには、A=4  でなければならないので、

56+4=60=□×5 より、□=60÷5=12  と求められます。

 

よって、3つの数の和は、12です。

 

 (2)Aには4が必ず入るので、残る6個の数字について考えます。

3つの数の和が12なので、

B+E=C+F=D+G=12-4=8です。

残る数字は1,2,3,5,6,7で、足して8になる組は、

(1,7)、(2,6)、(3,5)の3組です。

 

さらに、B+C+D=E+F+G=12となるような組は、

(1,5,6)、(2,3,7)の2組です。

  

B,C,D=(1,5,6)のとき、B,C,Dの数が決まれば

E,F,Gの数も決まるので、その並び方の数は、

3×2×1=6通り  です。

 

B,C,D=(2,3,7)のときも、同様に6通りあるので、

合計すると、6×2=12通り  となります。

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