図形の回転 (海城中学 2007年)
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半径の長さが等しく、中心角が120°と90°の2つのおうぎ形があり、
点Oを中心として図の矢印の向きに回転します。
それぞれのおうぎ形は、点A,Bが重なった状態から回りはじめ、
120°のおうぎ形は40秒間で1回転、90°のおうぎ形は60秒間で1回転します。
(1)回りはじめてから5分間で点AとBが回りはじめた点以外の場所で重なるのは
何回ありますか。
(2)2つのおうぎ形が重なっている部分のおうぎ形の中心角をa°とします。
回りはじめてからの時間と a の関係を示すグラフを描きなさい。
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(1)120°のおうぎ形は40秒で1回転するので、1秒間に
360°÷40=9°回転します。
90°のおうぎ形は、60秒で1回転するので、1秒間に
360°÷60=6°回転します。
最初、A,Bは重なっているので、2点の差は360°あります。
次に重なるのは、360°÷(9°+6°)=24秒後 です。
さらに、次に重なるのも、24秒後、つまり24秒ごとに点A,Bは
重なります。
5分間では、5分=5×60=300秒なので、
300÷24=12.5より、12回重なることになります。
問題より、最初の場所以外で重なる回数を数えなければ
ならないので、最初の場所で重なる回数を調べます。
点Bは60秒ごとに最初の場所に戻ってきます。
一方、点A,Bが重なるのは24秒ごとなので、
60と24の最小公倍数が120なので、120の倍数である
120秒後、240秒後の2回、最初の場所で点A,Bが重なることが
わかりますので、最初の場所以外で重なる回数は、
12-2=10回 となります。
(2)回転前に、120°のおうぎ形と90°のおうぎ形は、
360-(120+90)=150°離れています。
それぞれ1秒間に9°、6°回転するので、2つのおうぎ形が
初めて重なり始めるのは、150÷(9+6)=10秒後 からです。
a°は最大でも90°にまでしかならないので、
a=90となるのは、
10+90÷(9+6)=16秒後 です。
a=90 が持続する時間は、
16+(120-90)÷(9+6)=18秒後 までです。
18秒後から6秒かけて、24秒後には、a=0となります。
(24秒後には、点A,Bが重なる状態になっています)
次に2つのおうぎ形が重なるのは、10秒後で、
24+10=34秒後になります。
そこから6秒かけて、a=90となり、2秒間、a=90が続き、
6秒かけて、a=0に戻り、また10秒後から2つのおうぎ形が
重なり始める、ということの繰り返しとなり、グラフにすると
下図のようになります。
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