図形の回転 （海城中学 2007年）

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半径の長さが等しく、中心角が１２０°と９０°の２つのおうぎ形があり、

点Ｏを中心として図の矢印の向きに回転します。

それぞれのおうぎ形は、点Ａ，Ｂが重なった状態から回りはじめ、

１２０°のおうぎ形は４０秒間で１回転、９０°のおうぎ形は６０秒間で１回転します。



（１）回りはじめてから５分間で点ＡとＢが回りはじめた点以外の場所で重なるのは

　　　何回ありますか。

（２）２つのおうぎ形が重なっている部分のおうぎ形の中心角をa°とします。

　　　回りはじめてからの時間と  a の関係を示すグラフを描きなさい。

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　（１）１２０°のおうぎ形は４０秒で１回転するので、１秒間に

３６０°÷４０＝９°回転します。

９０°のおうぎ形は、６０秒で１回転するので、１秒間に

３６０°÷６０＝６°回転します。

　

　最初、Ａ，Ｂは重なっているので、２点の差は３６０°あります。

次に重なるのは、３６０°÷（９°＋６°）＝２４秒後 です。

さらに、次に重なるのも、２４秒後、つまり２４秒ごとに点Ａ，Ｂは

重なります。

　　

　５分間では、５分＝５×６０＝３００秒なので、

３００÷２４＝１２．５より、１２回重なることになります。

　

　問題より、最初の場所以外で重なる回数を数えなければ

ならないので、最初の場所で重なる回数を調べます。

　

　点Ｂは６０秒ごとに最初の場所に戻ってきます。

一方、点Ａ，Ｂが重なるのは２４秒ごとなので、

６０と２４の最小公倍数が１２０なので、１２０の倍数である

１２０秒後、２４０秒後の２回、最初の場所で点Ａ，Ｂが重なることが

わかりますので、最初の場所以外で重なる回数は、

１２－２＝１０回　となります。

　

　（２）回転前に、１２０°のおうぎ形と９０°のおうぎ形は、

３６０－（１２０＋９０）＝１５０°離れています。

それぞれ１秒間に９°、６°回転するので、２つのおうぎ形が

初めて重なり始めるのは、１５０÷（９＋６）＝１０秒後 からです。

　

a°は最大でも９０°にまでしかならないので、

a＝９０となるのは、

１０＋９０÷（９＋６）＝１６秒後 です。

　

a＝９０ が持続する時間は、

１６＋（１２０－９０）÷（９＋６）＝１８秒後 までです。

　

１８秒後から６秒かけて、２４秒後には、a＝０となります。

（２４秒後には、点Ａ，Ｂが重なる状態になっています）

　

次に２つのおうぎ形が重なるのは、１０秒後で、

２４＋１０＝３４秒後になります。

そこから６秒かけて、a＝９０となり、２秒間、a＝９０が続き、

６秒かけて、a＝０に戻り、また１０秒後から２つのおうぎ形が

重なり始める、ということの繰り返しとなり、グラフにすると

下図のようになります。

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