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2015年5月 6日 (水)

図形の回転 (海城中学 2007年)

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半径の長さが等しく、中心角が120°と90°の2つのおうぎ形があり、

点Oを中心として図の矢印の向きに回転します。

それぞれのおうぎ形は、点A,Bが重なった状態から回りはじめ、

120°のおうぎ形は40秒間で1回転、90°のおうぎ形は60秒間で1回転します。



(1)回りはじめてから5分間で点AとBが回りはじめた点以外の場所で重なるのは

   何回ありますか。

(2)2つのおうぎ形が重なっている部分のおうぎ形の中心角をa°とします。

   回りはじめてからの時間と  a の関係を示すグラフを描きなさい。

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 (1)120°のおうぎ形は40秒で1回転するので、1秒間に

360°÷40=9°回転します。

90°のおうぎ形は、60秒で1回転するので、1秒間に

360°÷60=6°回転します。

 

 最初、A,Bは重なっているので、2点の差は360°あります。

次に重なるのは、360°÷(9°+6°)=24秒後 です。

さらに、次に重なるのも、24秒後、つまり24秒ごとに点A,Bは

重なります。

  

 5分間では、5分=5×60=300秒なので、

300÷24=12.5より、12回重なることになります。

 

 問題より、最初の場所以外で重なる回数を数えなければ

ならないので、最初の場所で重なる回数を調べます。

 

 点Bは60秒ごとに最初の場所に戻ってきます。

一方、点A,Bが重なるのは24秒ごとなので、

60と24の最小公倍数が120なので、120の倍数である

120秒後、240秒後の2回、最初の場所で点A,Bが重なることが

わかりますので、最初の場所以外で重なる回数は、

12-2=10回 となります。

 

 (2)回転前に、120°のおうぎ形と90°のおうぎ形は、

360-(120+90)=150°離れています。

それぞれ1秒間に9°、6°回転するので、2つのおうぎ形が

初めて重なり始めるのは、150÷(9+6)=10秒後 からです。

 

a°は最大でも90°にまでしかならないので、

a=90となるのは、

10+90÷(9+6)=16秒後 です。

 

a=90 が持続する時間は、

16+(120-90)÷(9+6)=18秒後 までです。

 

18秒後から6秒かけて、24秒後には、a=0となります。

(24秒後には、点A,Bが重なる状態になっています)

 

次に2つのおうぎ形が重なるのは、10秒後で、

24+10=34秒後になります。

そこから6秒かけて、a=90となり、2秒間、a=90が続き、

6秒かけて、a=0に戻り、また10秒後から2つのおうぎ形が

重なり始める、ということの繰り返しとなり、グラフにすると

下図のようになります。

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