何通りの給水の方法が?(青雲中学 2010年)
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太郎君が出場する3つのマラソン大会では、コースにいくつかの給水ポイントがあり、太郎君は、2ヵ所続けて給水しないことがないようにします。
次のような大会で完走するとき、太郎君にはそれぞれ何通りの給水の方法がありますか。
ただし、スタートとゴールには給水ポイントはありません。
コースを途中で戻って給水ポイントで給水することもありません。
(1)2ヵ所の給水ポイントがある大会
(2)3ヵ所の給水ポイントがある大会
(3)7ヵ所の給水ポイントがある大会
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(1)2ヵ所の給水ポイントがあるとき、
太郎君は、①番目の給水ポイントのみで給水する場合、
②番目の給水ポイントのみで給水する場合、
①番目と②番目の両方で給水する場合、
の3通りの給水の仕方があります。
(2)3ヵ所の給水ポイントがある場合、
太郎君は、①番目、②番目、③番目のそれぞれの給水ポイントで
【給水する】または【給水しない】ことを選ぶことができます。
すなわち、2通りの方法があります。
①番目、②番目、③番目それぞれで2通りの方法があるので、
全部で、2×2×2=8通り の方法があります。
ただし、太郎君は、2回続けて給水しないことはないので、
8通りのうち、2回続けて給水しない場合を除かなければならず、
①番目+②番目、②番目+③番目、①番目+②番目+③番目
の給水をしなかった3つの場合を除いて、8-3=5通り の
給水の方法があることがわかります。
(3)7ヵ所の給水ポイントをそれぞれ①、②、③、④、⑤、⑥、⑦
とします。
太郎君の給水の仕方として、最も回数が少ないのは、
②、④、⑥ で給水する「3回」です。
「4回」給水する方法は、
②、④+【⑤⑥⑦から2つ選ぶ】 → 3通り
【①②③から2つ選ぶ】+④、⑥ → 3通り
【①または②】+③+⑤+【⑥または⑦】 → 4通り
以上の10通り
「5回」給水する方法は、
①~⑦から5つ選ぶ方法のうち、
①②、②③、③④、④⑤、⑤⑥、⑥⑦が除かれている場合を除き、
6+5+4+3+2+1-6=15通り
「6回」給水する方法は、どこか一ヵ所で給水を取らないので、
7通りあります。
「7回」給水する方法は、すべての場所で給水するので
1通りです。
よって、全部で、
1+10+15+7+1=34通り の給水方法があります。
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