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2015年5月13日 (水)

2015年5月13日 (水)

何通りの給水の方法が?(青雲中学 2010年)

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太郎君が出場する3つのマラソン大会では、コースにいくつかの給水ポイントがあり、太郎君は、2ヵ所続けて給水しないことがないようにします。

次のような大会で完走するとき、太郎君にはそれぞれ何通りの給水の方法がありますか。

ただし、スタートとゴールには給水ポイントはありません。

コースを途中で戻って給水ポイントで給水することもありません。

 
Ilm03_bb01006s
(1)2ヵ所の給水ポイントがある大会

(2)3ヵ所の給水ポイントがある大会

(3)7ヵ所の給水ポイントがある大会

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 (1)2ヵ所の給水ポイントがあるとき、

太郎君は、①番目の給水ポイントのみで給水する場合、

②番目の給水ポイントのみで給水する場合、

①番目と②番目の両方で給水する場合、

の3通りの給水の仕方があります。

 

 (2)3ヵ所の給水ポイントがある場合、

太郎君は、①番目、②番目、③番目のそれぞれの給水ポイントで

【給水する】または【給水しない】ことを選ぶことができます。

すなわち、2通りの方法があります。

 

①番目、②番目、③番目それぞれで2通りの方法があるので、

全部で、2×2×2=8通り の方法があります。

 

ただし、太郎君は、2回続けて給水しないことはないので、

8通りのうち、2回続けて給水しない場合を除かなければならず、

①番目+②番目、②番目+③番目、①番目+②番目+③番目

の給水をしなかった3つの場合を除いて、8-3=5通り の

給水の方法があることがわかります。

 

 (3)7ヵ所の給水ポイントをそれぞれ①、②、③、④、⑤、⑥、⑦

とします。

 太郎君の給水の仕方として、最も回数が少ないのは、

②、④、⑥ で給水する「3回」です。

 

「4回」給水する方法は、

②、④+【⑤⑥⑦から2つ選ぶ】 → 3通り

【①②③から2つ選ぶ】+④、⑥ → 3通り

【①または②】+③+⑤+【⑥または⑦】 → 4通り

以上の10通り

 

「5回」給水する方法は、

①~⑦から5つ選ぶ方法のうち、

①②、②③、③④、④⑤、⑤⑥、⑥⑦が除かれている場合を除き、

6+5+4+3+2+1-6=15通り 

「6回」給水する方法は、どこか一ヵ所で給水を取らないので、

7通りあります。

 

「7回」給水する方法は、すべての場所で給水するので

1通りです。

 

よって、全部で、

 1+10+15+7+1=34通り の給水方法があります。

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