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2015年5月 9日 (土)

2015年5月 9日 (土)

水面の高さと体積 (海城中学 2009年)

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1辺6cmの立方体7個と、直角をはさむ2辺の長さが6cmの

直角二等辺三角形を底面として高さ6cmの三角柱12個を使い

下の図のような立体を組み立てました。

     

このとき、次の問に答えなさい。

(1)この立体の体積を求めなさい。

この立体と同じ形、同じ大きさ、同じ置き方の空の水そうを用意し、

毎分18cm3で水を入れていきます。

(2)水面の高さが3cmになるのは何秒後ですか。

(3)水面の高さが8cmになるのは何秒後ですか。

(4)144秒後の水面の高さを答えなさい。

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 (1)1辺6cmの立方体の体積は、6×6×6=216cm3

直角をはさむ2辺が6cmの直角二等辺三角形を底面とする

高さ6cmの三角柱の体積は、

 6×6÷2×6=108ccm3

なので、この立体の体積は、

 216×7+108×12=216×(7+6)=2808ccm3
となります。

 

 

 (2)水面が高さ3cmのとき、水の体積は、

 立方体1個の部分 → 6×6×3=108ccm3
 三角柱4個の部分 → 3×3÷2×6×4=108ccm3
水が毎分18c㎥ 入ってくるので、水面の高さが3cmになるのは、

 (108+108)÷18=12秒後 です。

 

 (3)水面の高さが8cmのときの水の体積は、

まん中の部分が下の図1のようになっていることから、

     

一番下の部分 → 6×6×6+6×6÷2×6×4=6×6×6×3

                               =648ccm3

まん中の部分(高さ2cm) → 6×6×2×5+6×6÷2×2×4

                  =36×14ccm3

 

よって、水面の高さが8cmになるのは、

 (6×6×6×3+36×14)÷18

=18×(36+28)÷18=64秒後 です。

 

 

 (4)まん中の部分がすべて水で満たされるのは、

 (648+6×6×6×5+6×6÷2×6×4)÷18

 =(18×6×6+6×6×6×7)÷18

 =36+84=120秒後

なので、144秒後には一番上の部分に水が入っていることに

なります。

(一番上の部分と一番下の部分は体積が等しいので

648÷18=36秒 かかり、120+36=156秒後に

水があふれることがわかります)

 

144-120=24秒間に入る水の体積は、

  18×24=432ccm3です。

 

432c㎥ の水が下の図2のように入っているので、

  

一番上の部分の水の高さを□cmとすると、下の図3のように

      

台形状に水が入っているので、水の体積は、

 6×6×□+{(6-□)+6}×□÷2×6×4=432

なので、

 3×□+(12-□)×□=36

という式になり、この式は小学生では解くことができません。

 

 

発想を変える必要があります。

 

        そこで、秒数に注目します。

 

120秒でまん中の部分が水で満たされ、156秒後に

すべての部分が水で満たされます。

 

求めるのは、144秒後に水がどの高さにあるかです。

 

あらためて、下の図4を見てみますが、このとき(2)を思い出すと、

図5は(2)の状態を表したものです。

 

図4と図5を比べてみると、同じ12秒ですから、

上から水が入ろうが、下から水が上がってこようが、

入る水の体積は等しくなっています。

 

すなわち、図4の水面の高さは、上から3cmのところである

とわかります。

 

よって、144秒後の水面の高さは、

 12+(6-3)=15cm のところになります。

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