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2015年5月 4日 (月)

2015年5月 4日 (月)

倍数は何個?(早稲田中学 2010年)

次のような、連続した3つの整数の積について考えます。

  1×2×3、2×3×4、3×4×5、・・・、100×101×102

 この100個の積について、次の問に答えなさい。

 

 (1)6の倍数は何個ありますか。

 (2)12の倍数は何個ありますか。

 (3)18の倍数は何個ありますか。

 (4)36の倍数は何個ありますか。

Apf

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 (1)6=2×3 なので、偶数×3の倍数 が積に含まれれば

積の結果は6の倍数となります。たとえば、8×9×10 のように。

 

100個の積について考えると、連続する3個の整数の積なので

必ず偶数は含まれます。

 

さらに、3の倍数も必ず1つ含まれます。

よって、100個の積の結果は全て6の倍数といえるので、

6の倍数の個数は、100個です。

 

 (2)12の倍数は、3×4 なので、(1)の100個と求めた

すべての積について、さらに4の倍数であることが条件として

増えます。

 

連続した3個の整数の積の中で、4の倍数は、

下のように、4個のうち3個の積に含まれていることがわかり、

1×2×3 2×3×4 3×4×5 4×5×6 

5×6×7 6×7×8 7×8×9 8×9×10

9×10×11 10×11×12 11×12×13 12×13×14 

100個のうち、100÷4×3=75個 が12の倍数であることが

わかります。

 

 (3)18= 3×6 または 2×9 と表すことができますが、

連続した3つの整数の積では、3の倍数と6の倍数が同時に

含まれることはないので、偶数×9の倍数 の積のものが

18の倍数ということになります。

 

偶数×9の倍数 が含まれる積は、たとえば

 ①7×8×9、②8×9×10、③9×10×11 のように、

1つの9の倍数の含まれる①、②、③の3個の式で表すことが

できます。

 

1から100までに9の倍数は11個あるので、(9×11=99)

18の倍数は、11×3=33個 あることがわかります。

(最後、33個目の99×100×101まで、含まれます)

 

 (4)36=4×9 なので、(3)の33個のうち、

4の倍数であるものの個数を調べます。

 

たとえば、(3)の18の倍数として挙げた

 ①7×8×9、②8×9×10、③9×10×11

のうち、36の倍数は、4の倍数を含む①、②の2個です。

 ④16×17×18 ⑤17×18×19 ⑥18×19×20

の3個のうちでは、④、⑥の2個です。

 ⑦25×26×27 ⑧26×27×28 ⑨27×28×29

の3個のうちでは、⑧、⑨の2個です。

 ⑩34×35×36 ⑪35×36×37 ⑫36×37×38

の3個のうちでは、3個すべて36の倍数です。

 

36の倍数の個数なので、36まで調べれば規則性がわかり、

12個のうち9個が36の倍数とわかりました。

9×11=99 で、11周期目まで調べることになるので、

 2個、2個、2個、3個 (36まで、9個)

 2個、2個、2個、3個 (36×2=72まで、9個)

 2個、2個、2個     (99まで、6個) より、

36の倍数の個数は、9×2+2×3=24個 とわかります。

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