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2015年4月28日 (火)

2015年4月28日 (火)

割り算の結果から (灘中学 2010年)

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ある整数を11で割ると割り切れず、小数第2位の数は「3」になり、

13で割ると割り切れず、小数第1位の数は「6」になりました。

ある整数として考えられる最小のものと、2番目に小さいものを

答えなさい。

Bo3

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 まず、ある整数を11で割ると割り切れない、ということは、

下の式1のようになり、

        

式1の□には、1~10のどれかが入ります。それぞれについて

計算すると、計算結果は下の式2のようになり、小数点以下は、

9の倍数のくり返しとなります。

        

このうち、小数第2位が「3」になるのは、分子が「7」のときなので、

ある整数を11で割ったときのあまりが「7」ということがわかります。

 

 同様にして、ある整数を13で割って割り切れないということは、

下の式3のようになり、

        

式3の■には、1~12のどれかが入ります。小数第1位が「6」

なので、式3は、次のように書くことができます。

  

        ●●÷13=▲.6・・・

 もしくは、

        ■÷13=0.6・・・

 

 13×0.6=7.8・・・

 13×0.7=9.1・・・ という計算結果より、

■は、7.8から9.1の間の整数なので、■=8または9 となります。 

  

 11の場合と同様に、計算すると、下の式4のようになり、

        

同様にして、■=8または9 ということがわかります。

 

よって、ある整数を13で割ると、あまりが8または9になります。

 

ここまでをまとめると、

 ある整数は、11で割ると7あまり、13で割ると8または9あまる

ということがわかりました。

 

 この条件を満たす、ある整数を調べると、

11×0+7=7 → 7÷13 → あまり7

11+7=18 → 18÷13 → あまり5

22+7=29 → 29÷13 → あまり3

33+7=40 → 40÷13 → あまり1

40+11=51 → 51÷13 → あまり12

51+11=62 → 62÷13 → あまり10

62+11=73 → 73÷13 → あまり8

73+11=84 → ・・・・・・・ → あまり6

84+11=95 → ・・・・・・・ → あまり4

95+11=106 → ・・・・・・ → あまり2

106+11=117 → ・・・・ → あまり0

117+11=128 → ・・・・ → あまり11

128+11=139 → ・・・・ → あまり9

 

以上のことから、ある整数として考えられる最小のものは、73、

2番目に小さいものは、139 です。

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